Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{3} \cdot \log (27) + \frac{1}{2} \cdot \log (64) = \log (y)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\log (y) = \frac{1}{3} \cdot \log (27) + \frac{1}{2} \cdot \log (64)$ .

$\log (y) = \frac{1}{3} \cdot \log (27) + \frac{1}{2} \cdot \log (64)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\log (27)$ .

$\log (y) = \frac{\log (27)}{3} + \frac{1}{2} \log (64)$

Этап 2.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log (64)$ .

$\log (y) = \frac{\log (27)}{3} + \frac{\log (64)}{2}$

Этап 3

Каждый член в $\log (y) = \frac{\log (27)}{3} + \frac{\log (64)}{2}$ умножим на $6$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\log (y) = \frac{\log (27)}{3} + \frac{\log (64)}{2}$ на $6$ .

$\log (y) \cdot 6 = \frac{\log (27)}{3} \cdot 6 + \frac{\log (64)}{2} \cdot 6$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $6$ влево от $\log (y)$ .

$6 \log (y) = \frac{\log (27)}{3} \cdot 6 + \frac{\log (64)}{2} \cdot 6$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$6 \log (y) = \frac{\log (27)}{3} \cdot (3 (2)) + \frac{\log (64)}{2} \cdot 6$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$6 \log (y) = \frac{\log (27)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + \frac{\log (64)}{2} \cdot 6$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$6 \log (y) = \log (27) \cdot 2 + \frac{\log (64)}{2} \cdot 6$

Этап 3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $\log (27)$ .

$6 \log (y) = 2 \cdot \log (27) + \frac{\log (64)}{2} \cdot 6$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$6 \log (y) = 2 \log (27) + \frac{\log (64)}{2} \cdot (2 (3))$

Этап 3.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$6 \log (y) = 2 \log (27) + \frac{\log (64)}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$6 \log (y) = 2 \log (27) + \log (64) \cdot 3$

Этап 3.3.1.4

Перенесем $3$ влево от $\log (64)$ .

$6 \log (y) = 2 \log (27) + 3 \log (64)$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $6 \log (y)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log (y^{6}) = 2 \log (27) + 3 \log (64)$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $2 \log (27) + 3 \log (64)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Упростим $2 \log (27)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (y^{6}) = \log (27^{2}) + 3 \log (64)$

Этап 5.1.1.2

Возведем $27$ в степень $2$ .

$\log (y^{6}) = \log (729) + 3 \log (64)$

Этап 5.1.1.3

Упростим $3 \log (64)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log (y^{6}) = \log (729) + \log (64^{3})$

Этап 5.1.1.4

Возведем $64$ в степень $3$ .

$\log (y^{6}) = \log (729) + \log (262144)$

Этап 5.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (y^{6}) = \log (729 \cdot 262144)$

Этап 5.1.3

Умножим $729$ на $262144$ .

$\log (y^{6}) = \log (191102976)$

Этап 6

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$y^{6} = 191102976$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[6]{191102976}$

Этап 7.2

Упростим $\pm \sqrt[6]{191102976}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $191102976$ в виде $24^{6}$ .

$y = \pm \sqrt[6]{24^{6}}$

Этап 7.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 24$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 24$

Этап 7.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 24$

Этап 7.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 24, - 24$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\frac{1}{3} \cdot \log (27) + \frac{1}{2} \cdot \log (64) = \log (y)$ истинным.

$y = 24$