Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 0.2 x^{2} + 21 x - 273 + \frac{2800}{x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $0.2 x^{2} + 21 x - 273 + \frac{2800}{x}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $0.2 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{0.2 x^{2} x}{x} + \frac{2800}{x} + 21 x - 273$

Этап 5.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0.2 x^{2} x + 2800}{x} + 21 x - 273$

Этап 5.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 x^{2} x + 2800$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 x^{2} x$ .

$\frac{0.2 (x^{2} x) + 2800}{x} + 21 x - 273$

Этап 5.1.3.1.2

Вынесем множитель $0.2$ из $2800$ .

$\frac{0.2 (x^{2} x) + 0.2 \cdot 14000}{x} + 21 x - 273$

Этап 5.1.3.1.3

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (x^{2} x) + 0.2 \cdot 14000$ .

$\frac{0.2 (x^{2} x + 14000)}{x} + 21 x - 273$

Этап 5.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{0.2 (x^{2} x^{1} + 14000)}{x} + 21 x - 273$

Этап 5.1.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0.2 (x^{2 + 1} + 14000)}{x} + 21 x - 273$

Этап 5.1.3.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 14000)}{x} + 21 x - 273$

Этап 5.1.4

Чтобы записать $21 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 14000)}{x} + \frac{21 x \cdot x}{x} - 273$

Этап 5.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0.2 (x^{3} + 14000) + 21 x \cdot x}{x} - 273$

Этап 5.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (x^{3} + 14000) + 21 x \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1.1

Вынесем множитель $0.2$ из $21 x \cdot x$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 14000) + 0.2 (105 x \cdot x)}{x} - 273$

Этап 5.1.6.1.2

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (x^{3} + 14000) + 0.2 (105 x \cdot x)$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 14000 + 105 x \cdot x)}{x} - 273$

Этап 5.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 14000 + 105 (x \cdot x))}{x} - 273$

Этап 5.1.6.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 14000 + 105 x^{2})}{x} - 273$

Этап 5.1.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2} + 14000)}{x} - 273$

Этап 5.1.7

Чтобы записать $- 273$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2} + 14000)}{x} - 273 \cdot \frac{x}{x}$

Этап 5.1.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Объединим $- 273$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2} + 14000)}{x} + \frac{- 273 x}{x}$

Этап 5.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2} + 14000) - 273 x}{x}$

Этап 5.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (x^{3} + 105 x^{2} + 14000) - 273 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1.1

Вынесем множитель $0.2$ из $- 273 x$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2} + 14000) + 0.2 (- 1365 x)}{x}$

Этап 5.1.9.1.2

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (x^{3} + 105 x^{2} + 14000) + 0.2 (- 1365 x)$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2} + 14000 - 1365 x)}{x}$

Этап 5.1.9.2

Изменим порядок членов.

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2} - 1365 x + 14000)}{x}$

Этап 5.1.10

Упростим.

$\frac{0.2 x^{3} + 21 x^{2} - 273 x + 2800}{x}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 x^{3} + 21 x^{2} - 273 x + 2800$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 x^{3}$ .

$\frac{0.2 (x^{3}) + 21 x^{2} - 273 x + 2800}{x}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $0.2$ из $21 x^{2}$ .

$\frac{0.2 (x^{3}) + 0.2 (105 x^{2}) - 273 x + 2800}{x}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $0.2$ из $- 273 x$ .

$\frac{0.2 (x^{3}) + 0.2 (105 x^{2}) + 0.2 (- 1365 x) + 2800}{x}$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $0.2$ из $2800$ .

$\frac{0.2 x^{3} + 0.2 (105 x^{2}) + 0.2 (- 1365 x) + 0.2 \cdot 14000}{x}$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 x^{3} + 0.2 (105 x^{2})$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2}) + 0.2 (- 1365 x) + 0.2 \cdot 14000}{x}$

Этап 5.2.6

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (x^{3} + 105 x^{2}) + 0.2 (- 1365 x)$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2} - 1365 x) + 0.2 \cdot 14000}{x}$

Этап 5.2.7

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2 (x^{3} + 105 x^{2} - 1365 x) + 0.2 \cdot 14000$ .

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2} - 1365 x + 14000)}{x}$

Этап 5.3

Развернем $0.2 (x^{3} + 105 x^{2} - 1365 x + 14000)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2} - 1365 x) + 0.2 \cdot 14000}{x}$

Этап 5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0.2 (x^{3} + 105 x^{2}) + 0.2 (- 1365 x) + 0.2 \cdot 14000}{x}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0.2 x^{3} + 0.2 (105 x^{2}) + 0.2 (- 1365 x) + 0.2 \cdot 14000}{x}$

Этап 5.3.4

Избавимся от скобок.

$\frac{0.2 x^{3} + 0.2 \cdot (105 x^{2}) + 0.2 (- 1365 x) + 0.2 \cdot 14000}{x}$

Этап 5.3.5

Избавимся от скобок.

$\frac{0.2 x^{3} + 0.2 \cdot (105 x^{2}) + 0.2 \cdot (- 1365 x) + 0.2 \cdot 14000}{x}$

Этап 5.3.6

Умножим $0.2$ на $105$ .

$\frac{0.2 x^{3} + 21 x^{2} + 0.2 \cdot (- 1365 x) + 0.2 \cdot 14000}{x}$

Этап 5.3.7

Умножим $0.2$ на $- 1365$ .

$\frac{0.2 x^{3} + 21 x^{2} - 273 x + 0.2 \cdot 14000}{x}$

Этап 5.3.8

Умножим $0.2$ на $14000$ .

$\frac{0.2 x^{3} + 21 x^{2} - 273 x + 2800}{x}$

Этап 5.4

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$0.2 x^{3}$

$21 x^{2}$

$273 x$

$2800$

Этап 5.5

Разделим член с максимальной степенью в делимом $0.2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$0.2 x^{2}$
	$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$

Этап 5.6

Умножим новое частное на делитель.

				$0.2 x^{2}$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			+	$0.2 x^{3}$	+	$0$

Этап 5.7

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $0.2 x^{3} + 0$ .

				$0.2 x^{2}$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$

Этап 5.8

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$0.2 x^{2}$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$
					+	$21 x^{2}$

Этап 5.9

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$0.2 x^{2}$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$
					+	$21 x^{2}$	-	$273 x$

Этап 5.10

Разделим член с максимальной степенью в делимом $21 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$0.2 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$
					+	$21 x^{2}$	-	$273 x$

Этап 5.11

Умножим новое частное на делитель.

				$0.2 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$
					+	$21 x^{2}$	-	$273 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$0$

Этап 5.12

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $21 x^{2} + 0$ .

				$0.2 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$
					+	$21 x^{2}$	-	$273 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$0$

Этап 5.13

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$0.2 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$
					+	$21 x^{2}$	-	$273 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$0$
							-	$273 x$

Этап 5.14

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$0.2 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$
					+	$21 x^{2}$	-	$273 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$0$
							-	$273 x$	+	$2800$

Этап 5.15

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 273 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$0.2 x^{2}$	+	$21 x$	-	$273$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$
					+	$21 x^{2}$	-	$273 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$0$
							-	$273 x$	+	$2800$

Этап 5.16

Умножим новое частное на делитель.

				$0.2 x^{2}$	+	$21 x$	-	$273$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$
					+	$21 x^{2}$	-	$273 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$0$
							-	$273 x$	+	$2800$
							-	$273 x$	+	$0$

Этап 5.17

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 273 x + 0$ .

				$0.2 x^{2}$	+	$21 x$	-	$273$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$
					+	$21 x^{2}$	-	$273 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$0$
							-	$273 x$	+	$2800$
							+	$273 x$	-	$0$

Этап 5.18

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$0.2 x^{2}$	+	$21 x$	-	$273$
$x$	+	$0$		$0.2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$273 x$	+	$2800$
			-	$0.2 x^{3}$	-	$0$
					+	$21 x^{2}$	-	$273 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$0$
							-	$273 x$	+	$2800$
							+	$273 x$	-	$0$
									+	$2800$

Этап 5.19

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$0.2 x^{2} + 21 x - 273 + \frac{2800}{x}$

Этап 5.20

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 0.2 x^{2} + 21 x - 273$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 0.2 x^{2} + 21 x - 273$

Этап 7