Основы мат. анализа Примеры

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y = 9$

Этап 1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y - 9 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 5$ , $b = 19$ и $c = 5 x^{2} + 10 x - 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9))}}{2 \cdot 5}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $19$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $5$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $10$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 20$ на $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.1.5

Добавим $361$ и $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $19$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $5$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.1.4.2

Умножим $10$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.1.4.3

Умножим $- 20$ на $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.1.5

Добавим $361$ и $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 5.4

Перепишем $- 19$ в виде $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Этап 5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $19$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $5$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.1.4.2

Умножим $10$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.1.4.3

Умножим $- 20$ на $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.1.5

Добавим $361$ и $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $- 19$ в виде $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Этап 6.4.4

Перепишем $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ в виде $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Этап 6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 8

Простейшая форма функция является самой простой формой функции данного типа.

$y = x^{2}$

Этап 9

Решим $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$5 y^{2} + 19 y - 9 = - 5 x^{2} - 10 x$

Этап 9.1.2

Добавим $5 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} = - 10 x$

Этап 9.1.3

Добавим $10 x$ к обеим частям уравнения.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} + 10 x = 0$

Этап 9.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 9.3

Подставим значения $a = 5$ , $b = 19$ и $c = - 9 + 5 x^{2} + 10 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x))}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Возведем $19$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.4.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.4.1

Умножим $- 20$ на $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.4.1.4.2

Умножим $5$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.4.1.4.3

Умножим $10$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.4.1.5

Добавим $361$ и $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.4.1.6

Изменим порядок членов.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 9.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Возведем $19$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.5.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.4.1

Умножим $- 20$ на $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.5.1.4.2

Умножим $5$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.5.1.4.3

Умножим $10$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.5.1.5

Добавим $361$ и $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.5.1.6

Изменим порядок членов.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.5.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 9.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 9.5.4

Перепишем $- 19$ в виде $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 9.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Этап 9.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Этап 9.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 9.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1

Возведем $19$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.6.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.4.1

Умножим $- 20$ на $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.6.1.4.2

Умножим $5$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.6.1.4.3

Умножим $10$ на $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.6.1.5

Добавим $361$ и $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.6.1.6

Изменим порядок членов.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.6.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 9.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 9.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.4.1

Перепишем $- 19$ в виде $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 9.6.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Этап 9.6.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Этап 9.6.4.4

Перепишем $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ в виде $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Этап 9.6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 9.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 10

Предположим, что $y = x^{2}$ есть $f (x) = x^{2}$ , а $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ есть $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Этап 11

Заданные функции относятся к разным типам. Преобразование функции не меняет ее тип, поэтому невозможно преобразовать $f (x) = x^{2}$ в $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ .

Невозможное геометрическое преобразование

Этап 12