Основы мат. анализа Примеры

$y = {(x - 2)}^{2} - 10$

Этап 1

Простейшая форма функция является самой простой формой функции данного типа.

$y = x^{2}$

Этап 2

Упростим ${(x - 2)}^{2} - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = (x - 2) (x - 2) - 10$

Этап 2.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x (x - 2) - 2 (x - 2) - 10$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 10$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 10$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 10$

Этап 2.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 10$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 10$

Этап 2.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 10$

Этап 2.2

Вычтем $10$ из $4$ .

$y = x^{2} - 4 x - 6$

Этап 3

Предположим, что $y = x^{2}$ есть $f (x) = x^{2}$ , а $y = {(x - 2)}^{2} - 10$ есть $g (x) = x^{2} - 4 x - 6$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} - 4 x - 6$

Этап 4

Описываемое преобразование из $f (x) = x^{2}$ в $g (x) = x^{2} - 4 x - 6$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} - 4 x - 6$

Этап 5

Найдем форму $g (x) = x^{2} - 4 x - 6$ с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Составим полный квадрат для $x^{2} - 4 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = - 6$

Этап 5.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 5.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 5.1.3.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 5.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = - 6 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = - 6 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = - 6 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = - 6 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 5.1.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = - 6 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = - 6 - \frac{4}{1}$

Этап 5.1.4.2.1.1.6.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = - 6 - 1 \cdot 4$

Этап 5.1.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 6 - 4$

Этап 5.1.4.2.2

Вычтем $4$ из $- 6$ .

$e = - 10$

Этап 5.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 2)}^{2} - 10$ .

${(x - 2)}^{2} - 10$

Этап 5.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x - 2)}^{2} - 10$

Этап 6

Горизонтальный сдвиг зависит от значения $h$ . Горизонтальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x + h)$ — график сдвинут влево на $h$ ед.

$g (x) = f (x - h)$ — график сдвинут вправо на $h$ ед.

Сдвиг по горизонтали: на $2$ ед. вправо

Этап 7

Смещение по вертикали зависит от значения $k$ . Вертикальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x) + k$ — график сдвинут вверх на $k$ ед.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Смещение по вертикали: сдвинут вниз на $10$ ед.

Этап 8

График отражен относительно оси x, если $g (x) = - f (x)$ .

Отражение относительно оси X: нет

Этап 9

График отражен относительно оси y, если $g (x) = f (- x)$ .

Отражение относительно оси Y: нет

Этап 10

Сжатие и растяжение зависят от значения $a$ .

Если $a$ больше $1$ : растянут по вертикали

Если $a$ между $0$ и $1$ : сжат по вертикали

Сжатие или растяжение по вертикали: нет

Этап 11

Сравним и перечислим преобразования.

Порождающая функция: $y = x^{2}$

Сдвиг по горизонтали: на $2$ ед. вправо

Смещение по вертикали: сдвинут вниз на $10$ ед.

Отражение относительно оси X: нет

Отражение относительно оси Y: нет

Сжатие или растяжение по вертикали: нет

Этап 12