Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x - 8) - \ln (x + 7) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Этап 1

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид $y = m x + b$ , где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью y.

$y = m x + b$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (x - 10) - \ln (x + 8)$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$

Этап 1.4

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{x - 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Этап 1.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Разобьем дробь $\frac{x - 8}{x + 7}$ на две дроби.

$\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x - 10}{x + 8}$

Этап 1.5.1.2

Разобьем дробь $\frac{x - 10}{x + 8}$ на две дроби.

$\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$

Этап 1.5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 7, x + 7, x + 8, x + 8$

Этап 1.5.2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.5.2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5.2.4

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5.2.5

Множителем $x + 7$ является само значение $x + 7$ .

$(x + 7) = x + 7$

$(x + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.5.2.6

Множителем $x + 8$ является само значение $x + 8$ .

$(x + 8) = x + 8$

$(x + 8)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.5.2.7

НОК $x + 7, x + 7, x + 8, x + 8$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 7) (x + 8)$

Этап 1.5.3

Каждый член в $\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$ умножим на $(x + 7) (x + 8)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x + 7} + \frac{- 8}{x + 7} = \frac{x}{x + 8} + \frac{- 10}{x + 8}$ на $(x + 7) (x + 8)$ .

$\frac{x}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x + 8) + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 8 + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 8 + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.2.1.4

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$x^{2} + 8 \cdot x + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.2.1.5

Сократим общий множитель $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 8 x + \frac{- 8}{x + 7} ((x + 7) (x + 8)) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 8 x - 8 (x + 8) = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 8 x - 8 x - 8 \cdot 8 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.2.1.7

Умножим $- 8$ на $8$ .

$x^{2} + 8 x - 8 x - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 8 x - 8 x - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вычтем $8 x$ из $8 x$ .

$x^{2} + 0 - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.2.2.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 7) (x + 8)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $x + 8$ из $(x + 7) (x + 8)$ .

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 8) (x + 7)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 64 = \frac{x}{x + 8} ((x + 8) (x + 7)) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 64 = x (x + 7) + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 64 = x \cdot x + x \cdot 7 + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + x \cdot 7 + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.3.1.4

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 \cdot x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 7) (x + 8))$

Этап 1.5.3.3.1.5

Сократим общий множитель $x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.5.1

Вынесем множитель $x + 8$ из $(x + 7) (x + 8)$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 8) (x + 7))$

Этап 1.5.3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x + \frac{- 10}{x + 8} ((x + 8) (x + 7))$

Этап 1.5.3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 (x + 7)$

Этап 1.5.3.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 x - 10 \cdot 7$

Этап 1.5.3.3.1.7

Умножим $- 10$ на $7$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} + 7 x - 10 x - 70$

Этап 1.5.3.3.2

Вычтем $10 x$ из $7 x$ .

$x^{2} - 64 = x^{2} - 3 x - 70$

Этап 1.5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 3 x - 70 = x^{2} - 64$

Этап 1.5.4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 70 - x^{2} = - 64$

Этап 1.5.4.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 3 x - 70 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 3 x - 70 + 0 = - 64$

Этап 1.5.4.2.2.2

Добавим $- 3 x - 70$ и $0$ .

$- 3 x - 70 = - 64$

Этап 1.5.4.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Добавим $70$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x = - 64 + 70$

Этап 1.5.4.3.2

Добавим $- 64$ и $70$ .

$- 3 x = 6$

Этап 1.5.4.4

Разделим каждый член $- 3 x = 6$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.1

Разделим каждый член $- 3 x = 6$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Этап 1.5.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

Этап 1.5.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{6}{- 3}$

Этап 1.5.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.4.3.1

Разделим $6$ на $- 3$ .

$x = - 2$

Этап 1.6

Исключим решения, которые не делают $\ln (\frac{x - 8}{x + 7}) = \ln (\frac{x - 10}{x + 8})$ истинным.

$Нет решения$

Этап 2

Так как уравнение не линейное, то угловой коэффициент в виде константы не существует.

Не является линейным