Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 7$ , $[- 3, - 1]$

Этап 1

Теорема о промежуточном значении утверждает, что если $f$ является непрерывной функцией с действительными значениями на интервале $[a, b]$ , а число $u$ лежит между $f (a)$ и $f (b)$ , то существует такое число $c$ на интервале $[a, b]$ , что $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Вычислим $f (a) = f (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f (- 3) = 4 \cdot - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

Этап 3.1.2

Умножим $4$ на $- 27$ .

$f (- 3) = - 108 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

Этап 3.1.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = - 108 + 2 \cdot 9 - 6 \cdot - 3 + 7$

Этап 3.1.4

Умножим $2$ на $9$ .

$f (- 3) = - 108 + 18 - 6 \cdot - 3 + 7$

Этап 3.1.5

Умножим $- 6$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 108 + 18 + 18 + 7$

Этап 3.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $- 108$ и $18$ .

$f (- 3) = - 90 + 18 + 7$

Этап 3.2.2

Добавим $- 90$ и $18$ .

$f (- 3) = - 72 + 7$

Этап 3.2.3

Добавим $- 72$ и $7$ .

$f (- 3) = - 65$

Этап 4

Вычислим $f (b) = f (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = 4 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

Этап 4.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

Этап 4.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 7$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 - 6 \cdot - 1 + 7$

Этап 4.1.5

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 + 6 + 7$

Этап 4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 4$ и $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 6 + 7$

Этап 4.2.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$f (- 1) = 4 + 7$

Этап 4.2.3

Добавим $4$ и $7$ .

$f (- 1) = 11$

Этап 5

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 1.83607126$

Этап 6

Теорема о промежуточном значении утверждает, что на интервале $[- 65, 11]$ существует корень $f (c) = 0$ , поскольку $f$ является непрерывной функцией на $[- 3, - 1]$ .

Корни на интервале $[- 3, - 1]$ расположены в $x \approx - 1.83607126$ .

Этап 7