Основы мат. анализа Примеры

$f (2) = - 1$ , $f^{- 1} (9) = 4$

Этап 1

Приведем каждое уравнение плоскости в стандартную форму.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $2$ влево от $f$ .

$2 f = - 1, f^{- 1} (9) = 4$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 f = - 1, \frac{1}{f} \cdot 9 = 4$

Этап 1.2.2

Объединим $\frac{1}{f}$ и $9$ .

$2 f = - 1, \frac{9}{f} = 4$

Этап 2

Чтобы найти пересечение прямой, проходящей через точку $(p, q, r)$ перпендикулярно плоскости $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ , с плоскостью $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Найдем векторы нормали плоскости $P_{1}$ и плоскости $P_{2}$ , где векторы нормали — это $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ и $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Проверим, равно ли скалярное произведение 0.

2. Создадим набор параметрических уравнений, таких как $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ .

3. Подставим эти уравнения в уравнение для плоскости $P_{2}$ так, чтобы $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , и решим для $t$

4. Используя значение $t$ , решим параметрические уравнения $x = p + a t$ , $y = q + b t$ и $z = r + c t$ относительно $t$ , чтобы найти пересечение $(x, y, z)$ .

Этап 3

Найдем нормальные векторы для каждой плоскости и определим, перпендикулярны ли они, вычислив скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$P_{1}$ представляет собой $2 f = - 1$ . Найдем вектор нормали $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ из уравнения плоскости вида $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Этап 3.2

$P_{2}$ представляет собой $\frac{9}{f} = 4$ . Найдем вектор нормали $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ из уравнения плоскости вида $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Этап 3.3

Вычислим скалярное произведение $n_{1}$ и $n_{2}$ , суммируя произведения соответствующих значений $x$ , $y$ и $z$ в векторах нормали.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4

Упростим скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Избавимся от скобок.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $0$ на $0$ .

$0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.2

Умножим $0$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 0$

Этап 3.4.2.3

Умножим $0$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 3.4.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 3.4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4

Скалярное произведение равно $0$ , поэтому плоскости перпендикулярны.

Пересечение отсутствует.