Основы мат. анализа Примеры

$\sin (x) = \frac{2}{9}$ , $0 < x < \frac{π}{2}$

Этап 1

Вычтем $\sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$0 = \frac{2}{9} - \sin (x)$

Этап 2

Теорема о промежуточном значении утверждает, что если $f$ является непрерывной функцией с действительными значениями на интервале $[a, b]$ , а число $u$ лежит между $f (a)$ и $f (b)$ , то существует такое число $c$ на интервале $[a, b]$ , что $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Вычислим $f (a) = f (0) = \frac{2}{9} - \sin (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} - 0$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} + 0$

Этап 4.2

Добавим $\frac{2}{9}$ и $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9}$

Этап 5

Вычислим $f (b) = f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - \sin (\frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1$

Этап 5.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Этап 5.3

Объединим $- 1$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 1 \cdot 9}{9}$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 9}{9}$

Этап 5.5.2

Вычтем $9$ из $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 7}{9}$

Этап 5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{7}{9}$

Этап 6

Since $0$ is on the interval $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ , solve the equation for $x$ at the root.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$ .

$\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$

Этап 6.2

Вычтем $\frac{2}{9}$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Этап 6.3.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{\frac{2}{9}}{1}$

Этап 6.3.3.2

Разделим $\frac{2}{9}$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{9}$

Этап 6.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{2}{9})$

Этап 6.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{2}{9})$ .

$x = 0.22409309$

Этап 6.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Этап 6.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.22409309$

Этап 6.7.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Этап 6.7.3

Вычтем $0.22409309$ из $3.14159265$ .

$x = 2.91749956$

Этап 6.8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.22409309 + 2 π n, 2.91749956 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Теорема о промежуточном значении утверждает, что на интервале $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ существует корень $f (c) = 0$ , поскольку $f$ является непрерывной функцией на $[0, \frac{π}{2}]$ .

Корни на интервале $[0, \frac{π}{2}]$ расположены в .

Этап 8