Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Этап 1

Вычтем $\frac{x^{2}}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $25$ .

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $25 (1 - \frac{x^{2}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 (- \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.2.1.2

Умножим $25$ на $1$ .

$y^{2} = 25 + 25 (- \frac{x^{2}}{4})$

Этап 3.2.1.3

Умножим $25 (- \frac{x^{2}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $25$ .

$y^{2} = 25 - 25 \frac{x^{2}}{4}$

Этап 3.2.1.3.2

Объединим $- 25$ и $\frac{x^{2}}{4}$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{4}$

Этап 3.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{4}$

Этап 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{4}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - \frac{25 x^{2}}{4}}$

Этап 5.1.2

Перепишем $\frac{25 x^{2}}{4}$ в виде ${(\frac{5 x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - {(\frac{5 x}{2})}^{2}}$

Этап 5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = \frac{5 x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 7

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 8

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt{\frac{5 \cdot 2 + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 10

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 2 + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 2$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2) + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 10.2

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2) + 5 (x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 10.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (2) + 5 (x)$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 11

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 12

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 13

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 - 5 x}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 14

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 2 - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 2$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) - 5 x}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 14.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) + 5 (- x)}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 14.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (2) + 5 (- x)$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 15

Умножим $\frac{5 (2 + x)}{2}$ на $\frac{5 (2 - x)}{2}$ .

$y = \sqrt{\frac{5 (2 + x) (5 (2 - x))}{2 \cdot 2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 16

Умножим $5$ на $5$ .

$y = \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 17

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 18

Перепишем $\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}$ в виде ${(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Вынесем полную степень $5^{2}$ из $25 (2 + x) (2 - x)$ .

$y = \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 18.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 18.3

Перегруппируем дробь $\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 19

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 20

Объединим $\frac{5}{2}$ и $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{(5 + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 21

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 22

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5 x}{2}) (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 23

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 \cdot 2 + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 24

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 2 + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 2$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2) + 5 x}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 24.2

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2) + 5 (x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 24.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (2) + 5 (x)$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 - \frac{5 x}{2})}$

Этап 25

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

Этап 26

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5 x}{2})}$

Этап 27

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 - 5 x}{2}}$

Этап 28

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 2 - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 2$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) - 5 x}{2}}$

Этап 28.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2) + 5 (- x)}{2}}$

Этап 28.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (2) + 5 (- x)$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x)}{2} \cdot \frac{5 (2 - x)}{2}}$

Этап 29

Умножим $\frac{5 (2 + x)}{2}$ на $\frac{5 (2 - x)}{2}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5 (2 + x) (5 (2 - x))}{2 \cdot 2}}$

Этап 30

Умножим $5$ на $5$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

Этап 31

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}}$

Этап 32

Перепишем $\frac{25 (2 + x) (2 - x)}{4}$ в виде ${(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1

Вынесем полную степень $5^{2}$ из $25 (2 + x) (2 - x)$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

Этап 32.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 32.3

Перегруппируем дробь $\frac{5^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

Этап 33

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - (\frac{5}{2} \cdot \sqrt{(2 + x) (2 - x)})$

Этап 34

Объединим $\frac{5}{2}$ и $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$

Этап 35

Данное уравнение $y = \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}, - \frac{5 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$ нельзя записать как $y = k x^{2}$ , поэтому $y$ не зависит напрямую от $x^{2}$ .

$y$ не изменяется прямо пропорционально $x$