Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} = 1$

Этап 1

Упростим левую часть $\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{{(x - 1)}^{2}}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} = 1$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{{(y - 3)}^{2}}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{{(x - 1)}^{2}}{9}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Этап 1.3.2

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 4}{36} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Этап 1.3.3

Умножим $\frac{{(y - 3)}^{2}}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 4}{36} - \frac{{(y - 3)}^{2} \cdot 9}{4 \cdot 9} = 1$

Этап 1.3.4

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 4}{36} - \frac{{(y - 3)}^{2} \cdot 9}{36} = 1$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \cdot 4 - {(y - 3)}^{2} \cdot 9}{36} = 1$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2} \cdot 4$ в виде ${((x - 1) \cdot 2)}^{2}$ .

$\frac{{((x - 1) \cdot 2)}^{2} - {(y - 3)}^{2} \cdot 9}{36} = 1$

Этап 1.5.2

Перепишем ${(y - 3)}^{2} \cdot 9$ в виде ${((y - 3) \cdot 3)}^{2}$ .

$\frac{{((x - 1) \cdot 2)}^{2} - {((y - 3) \cdot 3)}^{2}}{36} = 1$

Этап 1.5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = (x - 1) \cdot 2$ и $b = (y - 3) \cdot 3$ .

$\frac{((x - 1) \cdot 2 + (y - 3) \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x \cdot 2 - 1 \cdot 2 + (y - 3) \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{(2 \cdot x - 1 \cdot 2 + (y - 3) \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(2 \cdot x - 2 + (y - 3) \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x - 2 + y \cdot 3 - 3 \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.5

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$\frac{(2 x - 2 + 3 \cdot y - 3 \cdot 3) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.6

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{(2 x - 2 + 3 \cdot y - 9) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.7

Вычтем $9$ из $- 2$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) ((x - 1) \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (x \cdot 2 - 1 \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.9

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 \cdot x - 1 \cdot 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.10

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 \cdot x - 2 - ((y - 3) \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.11

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - (y \cdot 3 - 3 \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.12

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - (3 \cdot y - 3 \cdot 3))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.13

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - (3 \cdot y - 9))}{36} = 1$

Этап 1.5.4.14

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - (3 y) + 9)}{36} = 1$

Этап 1.5.4.15

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - 3 y + 9)}{36} = 1$

Этап 1.5.4.16

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 2 - 3 y + 9)}{36} = 1$

Этап 1.5.4.17

Добавим $- 2$ и $9$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7)}{36} = 1$

Этап 2

Умножим обе части на $36$ .

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7)}{36} \cdot 36 = 1 \cdot 36$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7)}{36} \cdot 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7)}{36} \cdot 36 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7) = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.2

Развернем $(2 x + 3 y - 11) (2 x - 3 y + 7)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 x (2 x) + 2 x (- 3 y) + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- 3 y) + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- 3 y) + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- 3 y) + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} + 2 x (- 3 y) + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 3 x y + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 2 x \cdot 7 + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.6

Умножим $7$ на $2$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 3 y (2 x) + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 3 \cdot 2 y x + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.8

Умножим $3$ на $2$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x + 3 y (- 3 y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x + 3 \cdot - 3 y \cdot y + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.10

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1.10.1

Перенесем $y$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x + 3 \cdot - 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.10.2

Умножим $y$ на $y$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x + 3 \cdot - 3 y^{2} + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.11

Умножим $3$ на $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 3 y \cdot 7 - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.12

Умножим $7$ на $3$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 21 y - 11 (2 x) - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.13

Умножим $2$ на $- 11$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 21 y - 22 x - 11 (- 3 y) - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.14

Умножим $- 3$ на $- 11$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 11 \cdot 7 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.1.15

Умножим $- 11$ на $7$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 77 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 y x - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 77$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $- 6 x y$ и $6 y x$ .

$4 x^{2} - 6 x y + 14 x + 6 x y - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 77 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.2.1.2

Добавим $- 6 x y$ и $6 x y$ .

$4 x^{2} + 14 x + 0 - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 77 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.2.1.3

Добавим $4 x^{2} + 14 x$ и $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 9 y^{2} + 21 y - 22 x + 33 y - 77 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.2.2

Вычтем $22 x$ из $14 x$ .

$4 x^{2} - 8 x - 9 y^{2} + 21 y + 33 y - 77 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.2.3

Добавим $21 y$ и $33 y$ .

$4 x^{2} - 8 x - 9 y^{2} + 54 y - 77 = 1 \cdot 36$

Этап 3.1.1.3.2.4

Перенесем $- 8 x$ .

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 8 x + 54 y - 77 = 1 \cdot 36$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $36$ на $1$ .

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 8 x + 54 y - 77 = 36$

Этап 4

Приравняем уравнение к нулю.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 8 x + 54 y - 77 - 36 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $36$ из $- 77$ .

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 8 x + 54 y - 113 = 0$