Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3}{2} \cdot \log_{2} (x + y) + \log (x - y) - \log_{2} (x^{2} - y^{2})$

Этап 1

Упростим $\frac{3}{2} \log_{2} (x + y)$ путем переноса $\frac{3}{2}$ под логарифм.

$\log_{2} ({(x + y)}^{\frac{3}{2}}) + \log (x - y) - \log_{2} (x^{2} - y^{2})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2}}}{x^{2} - y^{2}}) + \log (x - y)$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = y$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2}}}{(x + y) (x - y)}) + \log (x - y)$

Этап 3.2

Перенесем ${(x + y)}^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2}} {(x + y)}^{- 1}}{x - y}) + \log (x - y)$

Этап 3.3

Умножим ${(x + y)}^{\frac{3}{2}}$ на ${(x + y)}^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2} - 1}}{x - y}) + \log (x - y)$

Этап 3.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x - y}) + \log (x - y)$

Этап 3.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x - y}) + \log (x - y)$

Этап 3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x - y}) + \log (x - y)$

Этап 3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{3 - 2}{2}}}{x - y}) + \log (x - y)$

Этап 3.3.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\log_{2} (\frac{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{x - y}) + \log (x - y)$