Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{2} \cdot \log_{y} (p^{3} q^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{2} \log_{y} (p^{3} q^{4})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\log_{y} ({(p^{3} q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $p^{3} q^{4}$ .

$\log_{y} ({(p^{3})}^{\frac{1}{2}} {(q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${(p^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{3 (\frac{1}{2})} {(q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Этап 1.3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} {(q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Этап 1.4

Перемножим экспоненты в ${(q^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{4 (\frac{1}{2})}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2 (2) \frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Этап 1.5

Умножим $- \frac{2}{3} \log_{y} (p^{4} q^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Изменим порядок $\log_{y} (p^{4} q^{3})$ и $\frac{2}{3}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - (\frac{2}{3} \log_{y} (p^{4} q^{3}))$

Этап 1.5.2

Упростим $\frac{2}{3} \log_{y} (p^{4} q^{3})$ путем переноса $\frac{2}{3}$ под логарифм.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} ({(p^{4} q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.6

Применим правило умножения к $p^{4} q^{3}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} ({(p^{4})}^{\frac{2}{3}} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.7

Перемножим экспоненты в ${(p^{4})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{4 (\frac{2}{3})} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.7.2

Умножим $4 (\frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Объединим $4$ и $\frac{2}{3}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{4 \cdot 2}{3}} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.7.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.8

Перемножим экспоненты в ${(q^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} q^{3 (\frac{2}{3})})$

Этап 1.8.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Сократим общий множитель.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} q^{3 (\frac{2}{3})})$

Этап 1.8.2.2

Перепишем это выражение.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} q^{2})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{y} (\frac{p^{\frac{3}{2}} q^{2}}{p^{\frac{8}{3}} q^{2}})$

Этап 3

Перенесем $p^{\frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{8}{3}} q^{2} p^{- \frac{3}{2}}})$

Этап 4

Умножим $p^{\frac{8}{3}}$ на $p^{- \frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $p^{- \frac{3}{2}}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2}} p^{\frac{8}{3}} q^{2}})$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2} + \frac{8}{3}} q^{2}})$

Этап 4.3

Чтобы записать $- \frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}} q^{2}})$

Этап 4.4

Чтобы записать $\frac{8}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{2}} q^{2}})$

Этап 4.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{2}} q^{2}})$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{2}} q^{2}})$

Этап 4.5.3

Умножим $\frac{8}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2}} q^{2}})$

Этап 4.5.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{8 \cdot 2}{6}} q^{2}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{- 3 \cdot 3 + 8 \cdot 2}{6}} q^{2}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{- 9 + 8 \cdot 2}{6}} q^{2}})$

Этап 4.7.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{- 9 + 16}{6}} q^{2}})$

Этап 4.7.3

Добавим $- 9$ и $16$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{7}{6}} q^{2}})$

Этап 5

Сократим общий множитель.

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{7}{6}} q^{2}})$

Этап 6

Перепишем это выражение.

$\log_{y} (\frac{1}{p^{\frac{7}{6}}})$