Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\ln (30) - \ln (3)}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{30}{3})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $30$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 (1)})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 1})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (\frac{10}{1})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.1.2.4

Разделим $10$ на $1$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) - 0} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) + 0} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Этап 2.2.3

Добавим $\ln (100)$ и $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Этап 3

Чтобы записать $\ln (9)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \frac{\ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Этап 5

Чтобы записать $\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Этап 6

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Этап 7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\ln (100) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Этап 7.2

Изменим порядок $\ln (100)$ и $2$ .

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{2 \cdot \ln (100)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Этап 7.3

Упростим $2 \cdot \ln (100)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Этап 7.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{\ln (100)}{2 \ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Этап 7.5

Упростим $2 \ln (100)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{\ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln (10) \cdot 2 + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 9.1.2

Умножим $\ln (10) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Изменим порядок $\ln (10)$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (10) + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 9.1.2.2

Упростим $2 \cdot \ln (10)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln (10^{2}) + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 9.1.3

Упростим $2 \ln (9)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln (10^{2}) + \ln (9^{2}) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 9.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$\frac{\ln (100) + \ln (9^{2}) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 9.1.4.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{\ln (100) + \ln (81) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 9.1.5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100) + \ln (\frac{100}{100})}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 9.1.6

Перепишем $\ln (81) \ln (100) + \ln (\frac{100}{100})$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Разделим $100$ на $100$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100) + \ln (1)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 9.1.6.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100) + 0}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 9.1.6.3

Добавим $\ln (81) \ln (100)$ и $0$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Этап 9.2

Возведем $100$ в степень $2$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} - \ln (10) \log (9)$

Этап 10

Чтобы записать $- \ln (10) \log (9)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} - \ln (10) \log (9) \cdot \frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$

Этап 11

Объединим $- \ln (10) \log (9)$ и $\frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} + \frac{- \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (81) \ln (100) - \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (81) \ln (100) - \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

Десятичная форма:

$0$