Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 2 y - 6 x = - 5$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y - 6 x = - 5 - x^{2}$

Этап 1.1.1.2

Добавим $6 x$ к обеим частям уравнения.

$- 2 y = - 5 - x^{2} + 6 x$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- 2 y = - 5 - x^{2} + 6 x$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- 2 y = - 5 - x^{2} + 6 x$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 5}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2} + \frac{6 x}{- 2}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{- 5}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2} + \frac{6 x}{- 2}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 5}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2} + \frac{6 x}{- 2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{5}{2} + \frac{- x^{2}}{- 2} + \frac{6 x}{- 2}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{5}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{6 x}{- 2}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Сократим общий множитель $6$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$y = \frac{5}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (3 x)}{- 2}$

Этап 1.1.2.3.1.3.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{3 x}{- 1}$ .

$y = \frac{5}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (3 x)$

Этап 1.1.2.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot (3 x)$ в виде $- (3 x)$ .

$y = \frac{5}{2} + \frac{x^{2}}{2} - (3 x)$

Этап 1.1.2.3.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y = \frac{5}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $\frac{5}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $\frac{5}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 3 x + \frac{5}{2}$

Этап 1.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 3$

$c = \frac{5}{2}$

Этап 1.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 3}{\frac{2}{2}}$

Этап 1.2.4.2.2

Разделим $2$ на $2$ .

$d = \frac{- 3}{1}$

Этап 1.2.4.2.3

Разделим $- 3$ на $1$ .

$d = - 3$

Этап 1.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$e = \frac{5}{2} - \frac{9}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5}{2} - \frac{9}{\frac{4}{2}}$

Этап 1.2.5.2.1.3

Разделим $4$ на $2$ .

$e = \frac{5}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 1.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{5 - 9}{2}$

Этап 1.2.5.2.3

Вычтем $9$ из $5$ .

$e = \frac{- 4}{2}$

Этап 1.2.5.2.4

Разделим $- 4$ на $2$ .

$e = - 2$

Этап 1.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} - 2$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} - 2$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = - 2$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(3, - 2)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 5.3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, - \frac{3}{2})$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 3$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{5}{2}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(3, - 2)$

Фокус: $(3, - \frac{3}{2})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = - \frac{5}{2}$

Этап 10