Основы мат. анализа Примеры

${(1 + 3 \log_{2} (\sqrt[4]{2}))}^{2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $3 \log_{2} (\sqrt[4]{2})$ путем переноса $3$ под логарифм.

${(1 + \log_{2} ({\sqrt[4]{2}}^{3}))}^{2}$

Этап 1.2

Перепишем ${\sqrt[4]{2}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{2^{3}}$ .

${(1 + \log_{2} (\sqrt[4]{2^{3}}))}^{2}$

Этап 1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

${(1 + \log_{2} (\sqrt[4]{8}))}^{2}$

Этап 2

Перепишем $\log_{2} (\sqrt[4]{8})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

${(1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}^{2}$

Этап 2.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

${(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})}^{2}$

Этап 3

Перепишем ${(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})}^{2}$ в виде $(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$ .

$(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

Этап 4

Развернем $(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Этап 5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Этап 5.1.2

Умножим $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ на $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Этап 5.1.3

Умножим $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ на $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Этап 5.1.4

Умножим $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ на $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8}) \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Этап 5.1.4.2

Возведем $\log (\sqrt[4]{8})$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{1} (\sqrt[4]{8}) \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Этап 5.1.4.3

Возведем $\log (\sqrt[4]{8})$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{1} (\sqrt[4]{8}) \log^{1} (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Этап 5.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{{\log (\sqrt[4]{8})}^{1 + 1}}{\log (2) \log (2)}$

Этап 5.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Этап 5.1.4.6

Возведем $\log (2)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{1} (2) \log (2)}$

Этап 5.1.4.7

Возведем $\log (2)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{1} (2) \log^{1} (2)}$

Этап 5.1.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{{\log (2)}^{1 + 1}}$

Этап 5.1.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8}) + \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Этап 6

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8} \sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8 \cdot 8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Этап 7.2

Умножим $8$ на $8$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{64})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Этап 7.3

Перепишем $64$ в виде $2^{4} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $16$ из $64$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{16 (4)})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Этап 7.3.2

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{2^{4} \cdot 4})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Этап 7.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$1 + \frac{\log (2 \sqrt[4]{4})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Этап 7.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$1 + \frac{\log (2 \sqrt[4]{2^{2}})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Этап 7.6

Перепишем $\sqrt[4]{2^{2}}$ в виде $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{\sqrt{2^{2}}})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Этап 7.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{2})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{2})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Десятичная форма:

$3.0625$