Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\log_{9} (25)}{\log_{9} (6)}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\log_{9} (25)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{\log_{9} (6)}$

Этап 1.1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (25)}{\log (9)}}{\log_{9} (6)}$

Этап 1.2

Перепишем $\log (25)$ в виде $\log (5^{2})$ .

$\frac{\frac{\log (5^{2})}{\log (9)}}{\log_{9} (6)}$

Этап 1.3

Развернем $\log (5^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{\frac{2 \log (5)}{\log (9)}}{\log_{9} (6)}$

Этап 1.4

Перепишем $\log (9)$ в виде $\log (3^{2})$ .

$\frac{\frac{2 \log (5)}{\log (3^{2})}}{\log_{9} (6)}$

Этап 1.5

Развернем $\log (3^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{\frac{2 \log (5)}{2 \log (3)}}{\log_{9} (6)}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 \log (5)}{2 \log (3)}}{\log_{9} (6)}$

Этап 1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\log (5)}{\log (3)}}{\log_{9} (6)}$

Этап 2

Перепишем $\log_{9} (6)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log (5)}{\log (3)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Этап 2.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (5)}{\log (3)}}{\frac{\log (6)}{\log (9)}}$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\log (5)}{\log (3)} \cdot \frac{\log (9)}{\log (6)}$

Этап 4

Умножим $\frac{\log (5)}{\log (3)}$ на $\frac{\log (9)}{\log (6)}$ .

$\frac{\log (5) \log (9)}{\log (3) \log (6)}$

Этап 5

Перепишем $\log (9)$ в виде $\log (3^{2})$ .

$\frac{\log (5) \log (3^{2})}{\log (3) \log (6)}$

Этап 6

Развернем $\log (3^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{\log (5) (2 \log (3))}{\log (3) \log (6)}$

Этап 7

Перепишем $\log (6)$ в виде $\log (2 (3))$ .

$\frac{\log (5) (2 \log (3))}{\log (3) \log (2 (3))}$

Этап 8

Перепишем $\log (2 (3))$ в виде $\log (2) + \log (3)$ .

$\frac{\log (5) (2 \log (3))}{\log (3) (\log (2) + \log (3))}$

Этап 9

Сократим общий множитель $\log (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (5) (2 \log (3))}{\log (3) (\log (2) + \log (3))}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\log (5) \cdot (2)}{\log (2) + \log (3)}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим порядок $\log (5)$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot \log (5)}{\log (2) + \log (3)}$

Этап 10.2

Упростим $2 \cdot \log (5)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\log (5^{2})}{\log (2) + \log (3)}$

Этап 11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (5^{2})}{\log (2 \cdot 3)}$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\log (5^{2})}{\log (6)}$

Этап 12

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\log (25)}{\log (6)}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (25)}{\log (6)}$

Десятичная форма:

$1.79648880 \dots$