Основы мат. анализа Примеры

$| \frac{x + 5}{7} | - 8 \geq - 7$

Этап 1

Запишем $| \frac{x + 5}{7} | - 8 \geq - 7$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\frac{x + 5}{7} \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим обе части на $7$ .

$\frac{x + 5}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Этап 1.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 5}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Этап 1.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 5 \geq 0 \cdot 7$

Этап 1.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Умножим $0$ на $7$ .

$x + 5 \geq 0$

Этап 1.2.3

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 5$

Этап 1.3

В части, где $\frac{x + 5}{7}$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{x + 5}{7} - 8 \geq - 7$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\frac{x + 5}{7} < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим обе части на $7$ .

$\frac{x + 5}{7} \cdot 7 < 0 \cdot 7$

Этап 1.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 5}{7} \cdot 7 < 0 \cdot 7$

Этап 1.5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 5 < 0 \cdot 7$

Этап 1.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Умножим $0$ на $7$ .

$x + 5 < 0$

Этап 1.5.3

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$x < - 5$

Этап 1.6

В части, где $\frac{x + 5}{7}$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- \frac{x + 5}{7} - 8 \geq - 7$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{x + 5}{7} - 8 \geq - 7 & x \geq - 5 \\ - \frac{x + 5}{7} - 8 \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $\frac{x + 5}{7} - 8 \geq - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

${\begin{cases} \frac{x + 5}{7} - 8 \cdot \frac{7}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ - \frac{x + 5}{7} - 8 \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.8.2

Объединим $- 8$ и $\frac{7}{7}$ .

${\begin{cases} \frac{x + 5}{7} + \frac{- 8 \cdot 7}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ - \frac{x + 5}{7} - 8 \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.8.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${\begin{cases} \frac{x + 5 - 8 \cdot 7}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ - \frac{x + 5}{7} - 8 \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Умножим $- 8$ на $7$ .

${\begin{cases} \frac{x + 5 - 56}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ - \frac{x + 5}{7} - 8 \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.8.4.2

Вычтем $56$ из $5$ .

${\begin{cases} \frac{x - 51}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ - \frac{x + 5}{7} - 8 \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.9

Упростим $- \frac{x + 5}{7} - 8 \geq - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

${\begin{cases} \frac{x - 51}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ - \frac{x + 5}{7} - 8 \cdot \frac{7}{7} \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.9.2

Объединим $- 8$ и $\frac{7}{7}$ .

${\begin{cases} \frac{x - 51}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ - \frac{x + 5}{7} + \frac{- 8 \cdot 7}{7} \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${\begin{cases} \frac{x - 51}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ \frac{- (x + 5) - 8 \cdot 7}{7} \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x + 5) - 8 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 \cdot 7$ .

${\begin{cases} \frac{x - 51}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ \frac{- (x + 5) - (8 \cdot 7)}{7} \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.9.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x + 5) - (8 \cdot 7)$ .

${\begin{cases} \frac{x - 51}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ \frac{- (x + 5 + 8 \cdot 7)}{7} \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.9.4.2

Умножим $8$ на $7$ .

${\begin{cases} \frac{x - 51}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ \frac{- (x + 5 + 56)}{7} \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.9.4.3

Добавим $5$ и $56$ .

${\begin{cases} \frac{x - 51}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ \frac{- (x + 61)}{7} \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 1.9.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

${\begin{cases} \frac{x - 51}{7} \geq - 7 & x \geq - 5 \\ - \frac{x + 61}{7} \geq - 7 & x < - 5 \end{cases}$

Этап 2

Решим $\frac{x - 51}{7} \geq - 7$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим обе части на $7$ .

$\frac{x - 51}{7} \cdot 7 \geq - 7 \cdot 7$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 51}{7} \cdot 7 \geq - 7 \cdot 7$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x - 51 \geq - 7 \cdot 7$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $- 7$ на $7$ .

$x - 51 \geq - 49$

Этап 2.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $51$ к обеим частям неравенства.

$x \geq - 49 + 51$

Этап 2.3.2

Добавим $- 49$ и $51$ .

$x \geq 2$

Этап 3

Решим $- \frac{x + 61}{7} \geq - 7$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \frac{x + 61}{7} \geq - 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \frac{x + 61}{7} \geq - 7$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- \frac{x + 61}{7}}{- 1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x + 61}{7}}{1} \leq \frac{- 7}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\frac{x + 61}{7}$ на $1$ .

$\frac{x + 61}{7} \leq \frac{- 7}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разделим $- 7$ на $- 1$ .

$\frac{x + 61}{7} \leq 7$

Этап 3.2

Умножим обе части на $7$ .

$\frac{x + 61}{7} \cdot 7 \leq 7 \cdot 7$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 61}{7} \cdot 7 \leq 7 \cdot 7$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 61 \leq 7 \cdot 7$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $7$ на $7$ .

$x + 61 \leq 49$

Этап 3.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $61$ из обеих частей неравенства.

$x \leq 49 - 61$

Этап 3.4.2

Вычтем $61$ из $49$ .

$x \leq - 12$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$x \leq - 12$ или $x \geq 2$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 12] \cup [2, \infty)$

Этап 6