Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 7}^{44} \frac{3 k - 9}{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 k - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 k$ .

$\frac{3 (k) - 9}{2}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$\frac{3 k + 3 \cdot - 3}{2}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 k + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{3 (k - 3)}{2}$

Этап 1.2

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 7}^{44} \frac{3 (k - 3)}{2}$

Этап 2

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $k$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 7}^{44} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2} = \sum_{k = 1}^{44} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2} - \sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{44} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{44} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2} = \sum_{k = 1}^{44} \frac{3 k}{2} + \sum_{k = 1}^{44} - \frac{9}{2}$

Этап 3.2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{44} \frac{3 k}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем $\frac{3}{2}$ за символ суммирования.

$(\frac{3}{2}) \sum_{k = 1}^{44} k$

Этап 3.2.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.2.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(\frac{3}{2}) (\frac{44 (44 + 1)}{2})$

Этап 3.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Добавим $44$ и $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{44 \cdot 45}{2}$

Этап 3.2.4.1.2

Умножим $44$ на $45$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1980}{2}$

Этап 3.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $1980$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (990)}{2}$

Этап 3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 990}{2}$

Этап 3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{990}{2})$

Этап 3.2.4.3

Объединим $3$ и $\frac{990}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 990}{2}$

Этап 3.2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.4.1

Умножим $3$ на $990$ .

$\frac{2970}{2}$

Этап 3.2.4.4.2

Разделим $2970$ на $2$ .

$1485$

Этап 3.3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{44} - \frac{9}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.3.2

Подставим значения в формулу.

$(- \frac{9}{2}) (44)$

Этап 3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9}{2}$ в числитель.

$\frac{- 9}{2} \cdot 44$

Этап 3.3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $44$ .

$\frac{- 9}{2} \cdot (2 (22))$

Этап 3.3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9}{2} \cdot (2 \cdot 22)$

Этап 3.3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- 9 \cdot 22$

Этап 3.3.3.2

Умножим $- 9$ на $22$ .

$- 198$

Этап 3.4

Сложим результаты суммирования.

$1485 - 198$

Этап 3.5

Вычтем $198$ из $1485$ .

$1287$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k}{2} - \frac{9}{2} = \sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k}{2} + \sum_{k = 1}^{6} - \frac{9}{2}$

Этап 4.2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем $\frac{3}{2}$ за символ суммирования.

$(\frac{3}{2}) \sum_{k = 1}^{6} k$

Этап 4.2.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.2.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(\frac{3}{2}) (\frac{6 (6 + 1)}{2})$

Этап 4.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6 \cdot 7}{2}$

Этап 4.2.4.1.2

Умножим $6$ на $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42}{2}$

Этап 4.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $42$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (21)}{2}$

Этап 4.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 21}{2}$

Этап 4.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{21}{2})$

Этап 4.2.4.3

Объединим $3$ и $\frac{21}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 21}{2}$

Этап 4.2.4.4

Умножим $3$ на $21$ .

$\frac{63}{2}$

Этап 4.3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{6} - \frac{9}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 4.3.2

Подставим значения в формулу.

$(- \frac{9}{2}) (6)$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9}{2}$ в числитель.

$\frac{- 9}{2} \cdot 6$

Этап 4.3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{- 9}{2} \cdot (2 (3))$

Этап 4.3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Этап 4.3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- 9 \cdot 3$

Этап 4.3.3.2

Умножим $- 9$ на $3$ .

$- 27$

Этап 4.4

Сложим результаты суммирования.

$\frac{63}{2} - 27$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы записать $- 27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.5.2

Объединим $- 27$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

Этап 4.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{63 - 27 \cdot 2}{2}$

Этап 4.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Умножим $- 27$ на $2$ .

$\frac{63 - 54}{2}$

Этап 4.5.4.2

Вычтем $54$ из $63$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 5

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$1287 - \frac{9}{2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $1287$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$1287 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 6.2

Объединим $1287$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1287 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1287 \cdot 2 - 9}{2}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $1287$ на $2$ .

$\frac{2574 - 9}{2}$

Этап 6.4.2

Вычтем $9$ из $2574$ .

$\frac{2565}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2565}{2}$

Десятичная форма:

$1282.5$

Форма смешанных чисел:

$1282 \frac{1}{2}$