Основы мат. анализа Примеры

$\sum_{k = 1}^{24} k^{2} - 7 k + 2$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{24} k^{2} - 7 k + 2 = \sum_{k = 1}^{24} k^{2} - 7 \sum_{k = 1}^{24} k + \sum_{k = 1}^{24} 2$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{24} k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $24$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)$ .

$\frac{6 (4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1))}{6}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{6 (4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1))}{6 (1)}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1))}{6 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{1}$

Этап 2.3.1.2.4

Разделим $4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)$ на $1$ .

$4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $24$ и $1$ .

$4 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)$

Этап 2.3.2.2

Умножим $4$ на $25$ .

$100 (2 \cdot 24 + 1)$

Этап 2.3.2.3

Умножим $2$ на $24$ .

$100 (48 + 1)$

Этап 2.3.2.4

Добавим $48$ и $1$ .

$100 \cdot 49$

Этап 2.3.2.5

Умножим $100$ на $49$ .

$4900$

Этап 3

Найдем значение $7 \sum_{k = 1}^{24} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 7) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $24$ и $1$ .

$- 7 \frac{24 \cdot 25}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $24$ на $25$ .

$- 7 (\frac{600}{2})$

Этап 3.3.3

Разделим $600$ на $2$ .

$- 7 \cdot 300$

Этап 3.3.4

Умножим $- 7$ на $300$ .

$- 2100$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{24} 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 4.2

Подставим значения в формулу.

$(2) (24)$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $24$ .

$48$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$4900 - 2100 + 48$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $2100$ из $4900$ .

$2800 + 48$

Этап 6.2

Добавим $2800$ и $48$ .

$2848$