Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt{x + \sqrt{x}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x + \sqrt{x}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} \sqrt{x}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x + \sqrt{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x + \sqrt{lim_{x \to 8} x}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{8 + \sqrt{lim_{x \to 8} x}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{8 + \sqrt{8}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x}$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{8 + \sqrt{8}} - \sqrt{8}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{8 + \sqrt{4 (2)}} - \sqrt{8}$

Этап 7.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{8 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}} - \sqrt{8}$

Этап 7.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{8}$

Этап 7.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{4 (2)}$

Этап 7.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 7.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - (2 \sqrt{2})$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$0.46223042 \dots$