Основы мат. анализа Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{n!}{n^{n}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} n^{n}}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $n^{n}$ в виде $e^{\ln (n^{n})}$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{n})}}$

Этап 2.2

Развернем $\ln (n^{n})$ , вынося $n$ из логарифма.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n)}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n)}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Этап 3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $n!$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{8!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4.2

Развернем $8!$ до $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4.3

Умножим $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $8$ на $7$ .

$\frac{56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4.3.2

Умножим $56$ на $6$ .

$\frac{336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4.3.3

Умножим $336$ на $5$ .

$\frac{1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4.3.4

Умножим $1680$ на $4$ .

$\frac{6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4.3.5

Умножим $6720$ на $3$ .

$\frac{20160 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4.3.6

Умножим $20160$ на $2$ .

$\frac{40320 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4.3.7

Умножим $40320$ на $1$ .

$\frac{40320}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Этап 4.5

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $8 \cdot \ln (8)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$\frac{40320}{e^{\ln (8^{8})}}$

Этап 5.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{40320}{8^{8}}$

Этап 5.1.3

Возведем $8$ в степень $8$ .

$\frac{40320}{16777216}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $40320$ и $16777216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $128$ из $40320$ .

$\frac{128 (315)}{16777216}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $128$ из $16777216$ .

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{315}{131072}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{315}{131072}$

Десятичная форма:

$0.00240325 \dots$