Основы мат. анализа Примеры

$\cos^{2} (\arcsin (\frac{1}{4}))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}}, \frac{1}{4})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{1}{4})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}}, \frac{1}{4})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{1}{4}))$ равно $\sqrt{\frac{15}{16}}$ .

${\sqrt{\frac{15}{16}}}^{2}$

Этап 2

Перепишем $\sqrt{\frac{15}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{16}}$ .

${(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{16}})}^{2}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

${(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{4^{2}}})}^{2}$

Этап 3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

${(\frac{\sqrt{15}}{4})}^{2}$

Этап 4

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{15}}{4}$ .

$\frac{{\sqrt{15}}^{2}}{4^{2}}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{15^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{15^{1}}{4^{2}}$

Этап 4.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{15}{4^{2}}$

Этап 4.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{15}{16}$