Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{{(1 - t^{2})}^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1

Перепишем ${(1 - t^{2})}^{2}$ в виде $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ .

$\sqrt{(1 - t^{2}) (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 2

Развернем $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{1 (1 - t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\sqrt{1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $- t^{2}$ на $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2} t^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.1.5

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 (t^{2} t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2 + 2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.1.7

Умножим $t^{4}$ на $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Вычтем $t^{2}$ из $- t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $2 t$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 2^{2} t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.3

Перепишем ${(1 + t^{2})}^{2}$ в виде $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + (1 + t^{2}) (1 + t^{2})}$

Этап 5

Развернем $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 (1 + t^{2}) + t^{2} (1 + t^{2})}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} (1 + t^{2})}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Этап 6.1.2

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Этап 6.1.3

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2} t^{2}}$

Этап 6.1.4

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2 + 2}}$

Этап 6.1.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{4}}$

Этап 6.2

Добавим $t^{2}$ и $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{- 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Этап 8

Добавим $- 2 t^{2}$ и $4 t^{2}$ .

$\sqrt{t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Этап 9

Добавим $t^{4}$ и $t^{4}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2}}$

Этап 10

Добавим $2 t^{2}$ и $2 t^{2}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 4 t^{2} + 2}$

Этап 11

Перепишем $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t^{4}$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 4 t^{2} + 2}$

Этап 11.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 t^{2}$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2}$

Этап 11.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2 (1)}$

Этап 11.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2})$ .

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)}$

Этап 11.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2} + 1)}$

Этап 11.2

Перепишем $t^{4}$ в виде ${(t^{2})}^{2}$ .

$\sqrt{2 ({(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}$

Этап 11.3

Пусть $u = t^{2}$ . Подставим $u$ вместо $t^{2}$ для всех.

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1)}$

Этап 11.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1^{2})}$

Этап 11.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 11.4.3

Перепишем многочлен.

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 11.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$\sqrt{2 {(u + 1)}^{2}}$

Этап 11.5

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2}$ .

$\sqrt{2 {(t^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 12

Перепишем $2 {(t^{2} + 1)}^{2}$ в виде ${(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Изменим порядок $2$ и ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\sqrt{{(t^{2} + 1)}^{2} \cdot 2}$

Этап 12.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{{(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2}$

Этап 13

Вынесем члены из-под знака корня.

$(t^{2} + 1^{2}) \sqrt{2}$

Этап 14

Единица в любой степени равна единице.

$(t^{2} + 1) \sqrt{2}$