Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{\frac{8^{n} \cdot 2^{7}}{4^{- n}}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(2^{3})}^{n} \cdot 2^{7}}{4^{- n}}}$

Этап 1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{2^{3 n} \cdot 2^{7}}{4^{- n}}}$

Этап 1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{2^{3 n + 7}}{4^{- n}}}$

Этап 2

Перепишем $\sqrt{\frac{2^{3 n + 7}}{4^{- n}}}$ в виде $\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}}}{\sqrt{4^{- n}}}$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}}}{\sqrt{4^{- n}}}$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}}}{\sqrt{4^{- n}}}$ на $\frac{\sqrt{4^{- n}}}{\sqrt{4^{- n}}}$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}}}{\sqrt{4^{- n}}} \cdot \frac{\sqrt{4^{- n}}}{\sqrt{4^{- n}}}$

Этап 4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}}}{\sqrt{4^{- n}}}$ на $\frac{\sqrt{4^{- n}}}{\sqrt{4^{- n}}}$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{\sqrt{4^{- n}} \sqrt{4^{- n}}}$

Этап 4.2

Возведем $\sqrt{4^{- n}}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{{\sqrt{4^{- n}}}^{1} \sqrt{4^{- n}}}$

Этап 4.3

Возведем $\sqrt{4^{- n}}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{{\sqrt{4^{- n}}}^{1} {\sqrt{4^{- n}}}^{1}}$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{{\sqrt{4^{- n}}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{{\sqrt{4^{- n}}}^{2}}$

Этап 4.6

Перепишем ${\sqrt{4^{- n}}}^{2}$ в виде $4^{- n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4^{- n}}$ в виде $4^{\frac{- n}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{{(4^{\frac{- n}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{{(4^{- \frac{n}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{4^{- \frac{n}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{4^{- 2 \frac{n}{2}}}$

Этап 4.6.5

Объединим $- 2$ и $\frac{n}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{4^{\frac{- 2 n}{2}}}$

Этап 4.6.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 n$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{4^{\frac{2 (- n)}{2}}}$

Этап 4.6.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{4^{\frac{2 (- n)}{2 (1)}}}$

Этап 4.6.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{4^{\frac{2 (- n)}{2 \cdot 1}}}$

Этап 4.6.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{4^{\frac{- n}{1}}}$

Этап 4.6.6.2.4

Разделим $- n$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7}} \sqrt{4^{- n}}}{4^{- n}}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7} \cdot 4^{- n}}}{4^{- n}}$

Этап 5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7} \cdot {(2^{2})}^{- n}}}{4^{- n}}$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{- n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7} \cdot 2^{2 (- n)}}}{4^{- n}}$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7} \cdot 2^{- 2 n}}}{4^{- n}}$

Этап 5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2^{3 n + 7 - 2 n}}}{4^{- n}}$

Этап 5.5

Вычтем $2 n$ из $3 n$ .

$\frac{\sqrt{2^{n + 7}}}{4^{- n}}$