Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}}))$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}, \sqrt{1 - x^{2}})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\sqrt{1 - x^{2}}))$ равно $\sqrt{1 - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\sqrt{(1 + \sqrt{1 - x^{2}}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - x^{2}}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{1 - x^{2}})}$

Этап 3.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{1^{2} - x^{2}})}$

Этап 3.4

$\sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$