Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}))$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}, \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}) (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x}) (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} (1 - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Этап 3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} (\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{2 \sqrt{x}}{1 + x})}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x} \cdot \frac{1 + x - 2 \sqrt{x}}{1 + x}}$

Этап 4

Умножим $\frac{1 + x + 2 \sqrt{x}}{1 + x}$ на $\frac{1 + x - 2 \sqrt{x}}{1 + x}$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{(1 + x) (1 + x)}}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $1 + x$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1} (1 + x)}}$

Этап 5.2

Возведем $1 + x$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1} {(1 + x)}^{1}}}$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{1 + 1}}}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{2}}}$

Этап 6

Перепишем $\frac{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}{{(1 + x)}^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{1 + x})}^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2}}}$

Этап 6.2

Вынесем полную степень ${(1 + x)}^{2}$ из ${(1 + x)}^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2} \cdot 1}}$

Этап 6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}{{(1 + x)}^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{1 + x})}^{2} ((1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x}))}$

Этап 7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{1 + x} \sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{1 + x}$ и $\sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x + 2 \sqrt{x}) (1 + x - 2 \sqrt{x})}}{1 + x}$