Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{5} - 4 x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 12}{x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 1

Разделим, используя метод деления многочленов в столбик.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$8$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x$

$12$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$8$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x$

$12$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$8$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x$

$12$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{5} - 4 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2}$ .

$x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$8$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x$

$12$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$8$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x$

$12$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x^{2}$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$8$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x$

$12$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$12$

Этап 1.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{2} + \frac{x^{2} + 2 x + 12}{x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x^{2} + 2 x + 12}{(x^{3} - 4 x^{2}) + 2 x - 8}$

Этап 2.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x^{2} + 2 x + 12}{x^{2} (x - 4) + 2 (x - 4)}$

Этап 2.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 4$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 12}{(x - 4) (x^{2} + 2)}$

Этап 2.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Этап 2.3

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2}$

Этап 2.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 4) (x^{2} + 2)$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x + 12) (x - 4) (x^{2} + 2)}{(x - 4) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x - 4} + \frac{(B x + C) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 2 x + 12) (x - 4) (x^{2} + 2)}{(x - 4) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x - 4} + \frac{(B x + C) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} + 2 x + 12) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x - 4} + \frac{(B x + C) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 2 x + 12) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x - 4} + \frac{(B x + C) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 2.6.2

Разделим $x^{2} + 2 x + 12$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x + 12 = \frac{(A) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x - 4} + \frac{(B x + C) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 2 x + 12 = \frac{A (x - 4) (x^{2} + 2)}{x - 4} + \frac{(B x + C) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 2.7.1.2

Разделим $(A) (x^{2} + 2)$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x + 12 = (A) (x^{2} + 2) + \frac{(B x + C) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + A \cdot 2 + \frac{(B x + C) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 2.7.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + 2 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + 2 A + \frac{(B x + C) (x - 4) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 2.7.4.2

Разделим $(B x + C) (x - 4)$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + 2 A + (B x + C) (x - 4)$

Этап 2.7.5

Развернем $(B x + C) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + 2 A + B x (x - 4) + C (x - 4)$

Этап 2.7.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + 2 A + B x \cdot x + B x \cdot - 4 + C (x - 4)$

Этап 2.7.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + 2 A + B x \cdot x + B x \cdot - 4 + C x + C \cdot - 4$

Этап 2.7.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.6.1.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + 2 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 4 + C x + C \cdot - 4$

Этап 2.7.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} + B x \cdot - 4 + C x + C \cdot - 4$

Этап 2.7.6.2

Перенесем $- 4$ влево от $B x$ .

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} - 4 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 4$

Этап 2.7.6.3

Перенесем $- 4$ влево от $C$ .

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} - 4 B x + C x - 4 C$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перенесем $B$ .

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} - 4 x B + C x - 4 C$

Этап 2.8.2

Перенесем $2 A$ .

$x^{2} + 2 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} - 4 x B + C x + 2 A - 4 C$

Этап 3

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 3.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = - 4 B + C$

Этап 3.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$12 = 2 A - 4 C$

Этап 3.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$2 = - 4 B + C$

$12 = 2 A - 4 C$

$1 = A + B$

$2 = - 4 B + C$

$12 = 2 A - 4 C$

Этап 4

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$2 = - 4 B + C$

$12 = 2 A - 4 C$

Этап 4.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$2 = - 4 B + C$

$12 = 2 A - 4 C$

$A = 1 - B$

$2 = - 4 B + C$

$12 = 2 A - 4 C$

Этап 4.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $12 = 2 A - 4 C$ на $1 - B$ .

$12 = 2 (1 - B) - 4 C$

$A = 1 - B$

$2 = - 4 B + C$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 4 C$

$A = 1 - B$

$2 = - 4 B + C$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$12 = 2 + 2 (- B) - 4 C$

$A = 1 - B$

$2 = - 4 B + C$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$12 = 2 - 2 B - 4 C$

$A = 1 - B$

$2 = - 4 B + C$

$12 = 2 - 2 B - 4 C$

$A = 1 - B$

$2 = - 4 B + C$

$12 = 2 - 2 B - 4 C$

$A = 1 - B$

$2 = - 4 B + C$

$12 = 2 - 2 B - 4 C$

$A = 1 - B$

$2 = - 4 B + C$

Этап 4.3

Изменим порядок $1$ и $- B$ .

$A = - B + 1$

$12 = 2 - 2 B - 4 C$

$2 = - 4 B + C$

Этап 4.4

Решим относительно $C$ в $2 = - 4 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 B + C = 2$ .

$- 4 B + C = 2$

$A = - B + 1$

$12 = 2 - 2 B - 4 C$

Этап 4.4.2

Добавим $4 B$ к обеим частям уравнения.

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$12 = 2 - 2 B - 4 C$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$12 = 2 - 2 B - 4 C$

Этап 4.5

Заменим все вхождения $C$ на $2 + 4 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим все вхождения $C$ в $12 = 2 - 2 B - 4 C$ на $2 + 4 B$ .

$12 = 2 - 2 B - 4 (2 + 4 B)$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим $2 - 2 B - 4 (2 + 4 B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 = 2 - 2 B - 4 \cdot 2 - 4 (4 B)$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.5.2.1.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$12 = 2 - 2 B - 8 - 4 (4 B)$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.5.2.1.1.3

Умножим $4$ на $- 4$ .

$12 = 2 - 2 B - 8 - 16 B$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$12 = 2 - 2 B - 8 - 16 B$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.5.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.2.1

Вычтем $8$ из $2$ .

$12 = - 2 B - 6 - 16 B$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.5.2.1.2.2

Вычтем $16 B$ из $- 2 B$ .

$12 = - 18 B - 6$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$12 = - 18 B - 6$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$12 = - 18 B - 6$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$12 = - 18 B - 6$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$12 = - 18 B - 6$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.6

Решим относительно $B$ в $12 = - 18 B - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перепишем уравнение в виде $- 18 B - 6 = 12$ .

$- 18 B - 6 = 12$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.6.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$- 18 B = 12 + 6$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.6.2.2

Добавим $12$ и $6$ .

$- 18 B = 18$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$- 18 B = 18$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.6.3

Разделим каждый член $- 18 B = 18$ на $- 18$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Разделим каждый член $- 18 B = 18$ на $- 18$ .

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{18}{- 18}$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 18 B}{- 18} = \frac{18}{- 18}$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.6.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{18}{- 18}$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{18}{- 18}$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{18}{- 18}$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.3.1

Разделим $18$ на $- 18$ .

$B = - 1$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$B = - 1$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$B = - 1$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

$B = - 1$

$C = 2 + 4 B$

$A = - B + 1$

Этап 4.7

Заменим все вхождения $B$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Заменим все вхождения $B$ в $C = 2 + 4 B$ на $- 1$ .

$C = 2 + 4 (- 1)$

$B = - 1$

$A = - B + 1$

Этап 4.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Упростим $2 + 4 (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$C = 2 - 4$

$B = - 1$

$A = - B + 1$

Этап 4.7.2.1.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$C = - 2$

$B = - 1$

$A = - B + 1$

$C = - 2$

$B = - 1$

$A = - B + 1$

$C = - 2$

$B = - 1$

$A = - B + 1$

Этап 4.7.3

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B + 1$ на $- 1$ .

$A = - (- 1) + 1$

$C = - 2$

$B = - 1$

Этап 4.7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.4.1

Упростим $- (- 1) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1 + 1$

$C = - 2$

$B = - 1$

Этап 4.7.4.1.2

Добавим $1$ и $1$ .

$A = 2$

$C = - 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$C = - 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$C = - 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$C = - 2$

$B = - 1$

Этап 4.8

Перечислим все решения.

$A = 2, C = - 2, B = - 1$

Этап 5

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $x^{2} + \frac{A}{x - 4} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$x^{2} + \frac{2}{x - 4} + \frac{- 1 x - 2}{x^{2} + 2}$

Этап 6

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} + \frac{2}{x - 4} + \frac{- x - 2}{x^{2} + 2}$