Основы мат. анализа Примеры

$\log (8 - x) > 2 \log (x + 4)$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log (8 - x) = 2 \log (x + 4)$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \log (x + 4)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (8 - x) = \log ({(x + 4)}^{2})$

Этап 2.2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$8 - x = {(x + 4)}^{2}$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(x + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$8 - x = 0 + 0 + {(x + 4)}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем ${(x + 4)}^{2}$ в виде $(x + 4) (x + 4)$ .

$8 - x = (x + 4) (x + 4)$

Этап 2.3.1.3

Развернем $(x + 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 - x = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Этап 2.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Этап 2.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$8 - x = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.4.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$8 - x = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.4.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$8 - x = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Этап 2.3.1.4.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$8 - x = x^{2} + 8 x + 16$

Этап 2.3.2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 8 x + 16 = 8 - x$

Этап 2.3.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 8 x + 16 + x = 8$

Этап 2.3.3.2

Добавим $8 x$ и $x$ .

$x^{2} + 9 x + 16 = 8$

Этап 2.3.4

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 9 x + 16 - 8 = 0$

Этап 2.3.5

Вычтем $8$ из $16$ .

$x^{2} + 9 x + 8 = 0$

Этап 2.3.6

Разложим $x^{2} + 9 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $9$ .

$1, 8$

Этап 2.3.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) (x + 8) = 0$

Этап 2.3.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 2.3.8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.3.9

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 2.3.9.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 2.3.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x + 8) = 0$ верно.

$x = - 1, - 8$

Этап 3

Найдем область определения $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$8 - x = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 8$

Этап 3.2.3

Разделим каждый член $- x = - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим каждый член $- x = - 8$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x = 8$

Этап 3.2.4

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 3.2.5

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.2.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 8$

$x = - 4$

Этап 3.2.7

Объединим решения.

$x = 8, - 4$

Этап 3.2.8

Найдем область определения $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 3.2.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 3.2.8.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.2.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Этап 3.2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < 8$

$x > 8$

Этап 3.2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 3.2.10.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{8 - (- 6)}{{((- 6) + 4)}^{2}} > 0$

Этап 3.2.10.1.3

Левая часть $3.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.2.10.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.2.10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{8 - (0)}{{((0) + 4)}^{2}} > 0$

Этап 3.2.10.2.3

Левая часть $0.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 3.2.10.3

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 3.2.10.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{8 - (10)}{{((10) + 4)}^{2}} > 0$

Этап 3.2.10.3.3

Левая часть $- 0.01020408$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.2.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

Этап 3.2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 4$ или $- 4 < x < 8$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 3.4.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 8)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 8$

$x > 8$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\log (8 - (- 10)) > 2 \log ((- 10) + 4)$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\log (8 - (- 6)) > 2 \log ((- 6) + 4)$

Этап 5.2.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.2.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\log (8 - (- 2)) > 2 \log ((- 2) + 4)$

Этап 5.3.3

Левая часть $1$ больше правой части $0.60205999$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log (8 - (0)) > 2 \log ((0) + 4)$

Этап 5.4.3

Левая часть $0.90308998$ не больше правой части $1.20411998$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.5

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 5.5.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\log (8 - (10)) > 2 \log ((10) + 4)$

Этап 5.5.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.5.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 5.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 8$ Ложь

$x > 8$ Ложь

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 8$ Ложь

$x > 8$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 < x < - 1$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 4 < x < - 1$

Интервальное представление:

$(- 4, - 1)$

Этап 8