Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{2} \sin (2 x) = 1$

Этап 1

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (2 x) = 1$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} \sin (2 x) = 1$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (2 x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \sin (2 x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.3.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 1.3.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 1.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 1.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 1.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 1.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Этап 4

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Этап 5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - \frac{π}{4}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.1.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 6.1.4.2

Вычтем $π$ из $4 \cdot π$ .

$2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

Этап 6.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Этап 6.2.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 7

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 7.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n$ , для любого целого $n$