Основы мат. анализа Примеры

$10 e^{x} - 15 - 45 e^{- x} = 0$

Этап 1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$10 e^{x} - 15 - 45 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$10 u - 15 - 45 u^{- 1} = 0$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 u - 15 - 45 \frac{1}{u} = 0$

Этап 3.2

Объединим $- 45$ и $\frac{1}{u}$ .

$10 u - 15 + \frac{- 45}{u} = 0$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$10 u - 15 - \frac{45}{u} = 0$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 1, u, 1$

Этап 4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 4.2

Каждый член в $10 u - 15 - \frac{45}{u} = 0$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $10 u - 15 - \frac{45}{u} = 0$ на $u$ .

$10 u \cdot u - 15 u - \frac{45}{u} u = 0 u$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Перенесем $u$ .

$10 (u \cdot u) - 15 u - \frac{45}{u} u = 0 u$

Этап 4.2.2.1.1.2

Умножим $u$ на $u$ .

$10 u^{2} - 15 u - \frac{45}{u} u = 0 u$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{45}{u}$ в числитель.

$10 u^{2} - 15 u + \frac{- 45}{u} u = 0 u$

Этап 4.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$10 u^{2} - 15 u + \frac{- 45}{u} u = 0 u$

Этап 4.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$10 u^{2} - 15 u - 45 = 0 u$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $0$ на $u$ .

$10 u^{2} - 15 u - 45 = 0$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $10 u^{2} - 15 u - 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $10 u^{2}$ .

$5 (2 u^{2}) - 15 u - 45 = 0$

Этап 4.3.1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 15 u$ .

$5 (2 u^{2}) + 5 (- 3 u) - 45 = 0$

Этап 4.3.1.1.3

Вынесем множитель $5$ из $- 45$ .

$5 (2 u^{2}) + 5 (- 3 u) + 5 (- 9) = 0$

Этап 4.3.1.1.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (2 u^{2}) + 5 (- 3 u)$ .

$5 (2 u^{2} - 3 u) + 5 (- 9) = 0$

Этап 4.3.1.1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (2 u^{2} - 3 u) + 5 (- 9)$ .

$5 (2 u^{2} - 3 u - 9) = 0$

Этап 4.3.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 u$ .

$5 (2 u^{2} - 3 u - 9) = 0$

Этап 4.3.1.2.1.1.2

Запишем $- 3$ как $3$ плюс $- 6$

$5 (2 u^{2} + (3 - 6) u - 9) = 0$

Этап 4.3.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (2 u^{2} + 3 u - 6 u - 9) = 0$

Этап 4.3.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$5 ((2 u^{2} + 3 u) - 6 u - 9) = 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$5 (u (2 u + 3) - 3 (2 u + 3)) = 0$

Этап 4.3.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u + 3$ .

$5 ((2 u + 3) (u - 3)) = 0$

Этап 4.3.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$5 (2 u + 3) (u - 3) = 0$

Этап 4.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u + 3 = 0$

$u - 3 = 0$

Этап 4.3.3

Приравняем $2 u + 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Приравняем $2 u + 3$ к $0$ .

$2 u + 3 = 0$

Этап 4.3.3.2

Решим $2 u + 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 u = - 3$

Этап 4.3.3.2.2

Разделим каждый член $2 u = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{3}{2}$

Этап 4.3.4

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 4.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 (2 u + 3) (u - 3) = 0$ верно.

$u = - \frac{3}{2}, 3$

Этап 5

Подставим $- \frac{3}{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- \frac{3}{2} = e^{x}$

Этап 6

Решим $- \frac{3}{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - \frac{3}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{3}{2}$

Этап 6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{3}{2})$

Этап 6.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- \frac{3}{2})$ не определено.

Неопределенные

Этап 6.4

Нет решения для $e^{x} = - \frac{3}{2}$

Нет решения

Этап 7

Подставим $3$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Этап 8

Решим $3 = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Этап 8.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Этап 8.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Этап 8.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (3)$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (3)$

Десятичная форма:

$x = 1.09861228 \dots$