Основы мат. анализа Примеры

$\sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 1

Заменим $- 2 \cos^{2} (x)$ на $- 2 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sin (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\sin (x) - 2 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\sin (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3

Упорядочим многочлен.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 = 0$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = 2$ , $b = 1$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.3

Добавим $1$ и $16$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{4}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Этап 9

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Этап 10

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.89590748$

Этап 11.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$

Этап 11.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 11.4.2

Результирующий угол $2.24568517$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 2.24568517$

Этап 11.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 11.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 13

Перечислим все решения.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , для любого целого $n$