Основы мат. анализа Примеры

$(x - 2) (x - 2) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Этап 1

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Этап 2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Этап 2.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$(x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Этап 2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$(x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Этап 2.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Этап 3

Развернем $(x^{2} - 4 x + 4) (x - 3 i)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$(x^{2} x + x^{2} (- 3 i) - 4 x \cdot x - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{2} x^{1} + x^{2} (- 3 i) - 4 x \cdot x - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Этап 4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{2 + 1} + x^{2} (- 3 i) - 4 x \cdot x - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Этап 4.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 x \cdot x - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $x$ .

$(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 (x \cdot x) - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Этап 4.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 x^{2} - 4 x (- 3 i) + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Этап 4.3

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 x^{2} + 12 x i + 4 x + 4 (- 3 i)) (x + 3 i)$

Этап 4.4

Умножим $- 3$ на $4$ .

$(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 x^{2} + 12 x i + 4 x - 12 i) (x + 3 i)$

Этап 5

Развернем $(x^{3} + x^{2} (- 3 i) - 4 x^{2} + 12 x i + 4 x - 12 i) (x + 3 i)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{3} x + x^{3} (3 i) + x^{2} (- 3 i) x + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} (3 i) + x^{2} (- 3 i) x + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1} + x^{3} (3 i) + x^{2} (- 3 i) x + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} + x^{3} (3 i) + x^{2} (- 3 i) x + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.2

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} i + x^{2} (- 3 i) x + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x \cdot x^{2} (- 3 i) + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{1} x^{2} (- 3 i) + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{1 + 2} (- 3 i) + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 3 i) (3 i) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.4

Умножим $x^{2} (- 3 i) (3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 i) i - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 (i^{1} i)) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 (i^{1} i^{1})) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 i^{1 + 1}) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 i^{2}) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} (- 9 \cdot - 1) - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.6

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.7

Перенесем $9$ влево от $x^{2}$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 \cdot x^{2} - 4 x^{2} x - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{1 + 2} - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 4 x^{2} (3 i) + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.9

Умножим $3$ на $- 4$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x i x + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.10

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.10.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 (x \cdot x) i + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.10.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 12 x i (3 i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.11

Умножим $12 x i (3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.11.1

Умножим $3$ на $12$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x i i + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.11.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x (i^{1} i) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.11.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x (i^{1} i^{1}) + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x i^{1 + 1} + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x i^{2} + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.12

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i + 36 x \cdot - 1 + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.13

Умножим $- 1$ на $36$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x \cdot x + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.14

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.14.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 (x \cdot x) + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.14.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 4 x (3 i) - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.15

Умножим $3$ на $4$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 12 i (3 i)$

Этап 6.1.16

Умножим $- 12 i (3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.16.1

Умножим $3$ на $- 12$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 i i$

Этап 6.1.16.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 (i^{1} i)$

Этап 6.1.16.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 (i^{1} i^{1})$

Этап 6.1.16.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 i^{1 + 1}$

Этап 6.1.16.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 i^{2}$

Этап 6.1.17

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x - 36 \cdot - 1$

Этап 6.1.18

Умножим $- 36$ на $- 1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Этап 6.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{4} + 3 x^{3} i + x^{3} (- 3 i) + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $3 x^{3} i$ и $x^{3} (- 3 i)$ .

$x^{4} + 3 i x^{3} - 3 i x^{3} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $3 i x^{3}$ из $3 i x^{3}$ .

$x^{4} + 0 + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Этап 6.2.1.3

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 12 x^{2} i + 12 x^{2} i - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Этап 6.2.1.4

Добавим $- 12 x^{2} i$ и $12 x^{2} i$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} + 0 - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Этап 6.2.1.5

Добавим $x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3}$ и $0$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 4 x^{2} + 12 x i - 12 i x + 36$

Этап 6.2.1.6

Изменим порядок множителей в членах $12 x i$ и $- 12 i x$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 4 x^{2} + 12 i x - 12 i x + 36$

Этап 6.2.1.7

Вычтем $12 i x$ из $12 i x$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 4 x^{2} + 0 + 36$

Этап 6.2.1.8

Добавим $x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 4 x^{2}$ и $0$ .

$x^{4} + 9 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 4 x^{2} + 36$

Этап 6.2.2

Добавим $9 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$x^{4} + 13 x^{2} - 4 x^{3} - 36 x + 36$

Этап 6.2.3

Перенесем $13 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + 13 x^{2} - 36 x + 36$