Основы мат. анализа Примеры

$2 (7^{2 x}) + 7^{x + 1} = 15$

Этап 1

Перепишем $7^{x + 1}$ в виде $7^{x} \cdot 7^{1}$ .

$2 \cdot 7^{2 x} + 7^{x} \cdot 7 = 15$

Этап 2

Перепишем $7^{2 x}$ в виде степенного выражения.

$2 \cdot {(7^{x})}^{2} + 7^{x} \cdot 7 = 15$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $7^{x}$ .

$2 u^{2} + u \cdot 7 = 15$

Этап 4

Перенесем $7$ влево от $u$ .

$2 u^{2} + 7 u = 15$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$2 u^{2} + 7 u - 15 = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u$ .

$2 u^{2} + 7 (u) - 15 = 0$

Этап 5.2.1.2

Запишем $7$ как $- 3$ плюс $10$

$2 u^{2} + (- 3 + 10) u - 15 = 0$

Этап 5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} - 3 u + 10 u - 15 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 u^{2} - 3 u) + 10 u - 15 = 0$

Этап 5.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (2 u - 3) + 5 (2 u - 3) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 3$ .

$(2 u - 3) (u + 5) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 3 = 0$

$u + 5 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $2 u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $2 u - 3$ к $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $2 u - 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 3$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $2 u = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 3$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Этап 5.5

Приравняем $u + 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $u + 5$ к $0$ .

$u + 5 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$u = - 5$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 u - 3) (u + 5) = 0$ верно.

$u = \frac{3}{2}, - 5$

Этап 6

Подставим $\frac{3}{2}$ вместо $u$ в $u = 7^{x}$ .

$\frac{3}{2} = 7^{x}$

Этап 7

Решим $\frac{3}{2} = 7^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $7^{x} = \frac{3}{2}$ .

$7^{x} = \frac{3}{2}$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7^{x}) = \ln (\frac{3}{2})$

Этап 7.3

Развернем $\ln (7^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$

Этап 7.4

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$ на $\ln (7)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$ на $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Этап 7.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Этап 7.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Этап 8

Подставим $- 5$ вместо $u$ в $u = 7^{x}$ .

$- 5 = 7^{x}$

Этап 9

Решим $- 5 = 7^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $7^{x} = - 5$ .

$7^{x} = - 5$

Этап 9.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7^{x}) = \ln (- 5)$

Этап 9.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 5)$ не определено.

Неопределенные

Этап 9.4

Нет решения для $7^{x} = - 5$

Нет решения

Этап 10

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Десятичная форма:

$x = 0.20836784 \dots$