Основы мат. анализа Примеры

$\ln (- x + 1) - \ln (3 x + 5) = \ln (- 6 x + 1)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{- x + 1}{3 x + 5}) = \ln (- 6 x + 1)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 x + 5, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$3 x + 5, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$3 x + 5$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$ умножим на $3 x + 5$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$ на $3 x + 5$ .

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} (3 x + 5) = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $3 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} (3 x + 5) = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- x + 1 = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x + 1 = - 6 x (3 x) - 6 x \cdot 5 + 1 (3 x + 5)$

Этап 3.2.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x \cdot x - 6 x \cdot 5 + 1 (3 x + 5)$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $5$ на $- 6$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x \cdot x - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Этап 3.2.3.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.4.1.1

Перенесем $x$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 (x \cdot x) - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Этап 3.2.3.1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x^{2} - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Этап 3.2.3.1.4.2

Умножим $- 6$ на $3$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Этап 3.2.3.1.5

Умножим $3 x + 5$ на $1$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 30 x + 3 x + 5$

Этап 3.2.3.2

Добавим $- 30 x$ и $3 x$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 27 x + 5$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 18 x^{2} - 27 x + 5 = - x + 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$- 18 x^{2} - 27 x + 5 + x = 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 27 x$ и $x$ .

$- 18 x^{2} - 26 x + 5 = 1$

Этап 3.3.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 18 x^{2} - 26 x + 5 - 1 = 0$

Этап 3.3.4

Вычтем $1$ из $5$ .

$- 18 x^{2} - 26 x + 4 = 0$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 18 x^{2} - 26 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 18 x^{2}$ .

$- 2 (9 x^{2}) - 26 x + 4 = 0$

Этап 3.3.5.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 26 x$ .

$- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x) + 4 = 0$

Этап 3.3.5.3

Вынесем множитель $- 2$ из $4$ .

$- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 3.3.5.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x)$ .

$- 2 (9 x^{2} + 13 x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Этап 3.3.5.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (9 x^{2} + 13 x) - 2 (- 2)$ .

$- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$

Этап 3.3.6

Разделим каждый член $- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Разделим каждый член $- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 3.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 3.3.6.2.1.2

Разделим $9 x^{2} + 13 x - 2$ на $1$ .

$9 x^{2} + 13 x - 2 = \frac{0}{- 2}$

Этап 3.3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$9 x^{2} + 13 x - 2 = 0$

Этап 3.3.7

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3.8

Подставим значения $a = 9$ , $b = 13$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1.1

Возведем $13$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.3.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.3.9.1.2.2

Умножим $- 36$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 72}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.3.9.1.3

Добавим $169$ и $72$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{241}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.3.9.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{241}}{18}$

Этап 3.3.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{13 - \sqrt{241}}{18}, - \frac{13 + \sqrt{241}}{18}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{13 - \sqrt{241}}{18}, - \frac{13 + \sqrt{241}}{18}$

Десятичная форма:

$x = 0.14023192 \dots, - 1.58467637 \dots$