Основы мат. анализа Примеры

$\ln (2 x^{2} + e x) = 2$

Этап 1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (2 x^{2} + e x)} = e^{2}$

Этап 2

Перепишем $\ln (2 x^{2} + e x) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + e x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} + e x = e^{2}$ .

$2 x^{2} + e x = e^{2}$

Этап 3.2

Вычтем $e^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + e x - e^{2} = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = e$ и $c = - e^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.1.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.2

Добавим $e^{2}$ и $8 e^{2}$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{9 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.3

Перепишем $9 e^{2}$ в виде ${(3 e)}^{2}$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{{(3 e)}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- e \pm 3 e}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- e \pm 3 e}{4}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{e}{2}, - e$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{e}{2}, - e$

Десятичная форма:

$x = 1.35914091 \dots, - 2.71828182 \dots$