Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + x^{4} + 3 x - 4$

Этап 2

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{3} - 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{3}$ .

$3 x^{2} (x) - 3 x^{2} + x^{4} + 3 x - 4$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 1) + x^{4} + 3 x - 4$

Этап 2.3

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 1)$ .

$3 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 3 x - 4$

Этап 3

Разложим $x^{4} + 3 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 3.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{4} + 3 \cdot 1 - 4$

Этап 3.3.2

Возведем $1$ в степень $4$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$1 + 3 - 4$

Этап 3.3.4

Добавим $1$ и $3$ .

$4 - 4$

Этап 3.3.5

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 3.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} + 3 x - 4}{x - 1}$

Этап 3.5

Разделим $x^{4} + 3 x - 4$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Этап 3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Этап 3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

Этап 3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

Этап 3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

Этап 3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

Этап 3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

Этап 3.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

Этап 3.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

Этап 3.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Этап 3.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 4$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Этап 3.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Этап 3.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + x^{2} + x + 4$

Этап 3.6

Запишем $x^{4} + 3 x - 4$ в виде набора множителей.

$3 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$

Этап 4

Вынесем множитель $x - 1$ из $3 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $3 x^{2} (x - 1)$ .

$(x - 1) (3 x^{2}) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x - 1) (3 x^{2}) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$ .

$(x - 1) (3 x^{2} + x^{3} + x^{2} + x + 4)$

Этап 5

Добавим $3 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} + 4 x^{2} + x + 4)$

Этап 6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $x^{3} + 4 x^{2} + x + 4$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) ((x^{3} + 4 x^{2}) + x + 4)$

Этап 6.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) (x^{2} (x + 4) + 1 (x + 4))$

Этап 6.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 4$ .

$(x - 1) ((x + 4) (x^{2} + 1))$

Этап 6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x + 4) (x^{2} + 1)$