Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$ не определено.

$x = 4$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 11 (x) - 4}{x - 4}$

Этап 6.1.1.1.2

Запишем $- 11$ как $1$ плюс $- 12$

$\frac{3 x^{2} + (1 - 12) x - 4}{x - 4}$

Этап 6.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} + 1 x - 12 x - 4}{x - 4}$

Этап 6.1.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2} + x - 12 x - 4}{x - 4}$

Этап 6.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 x^{2} + x) - 12 x - 4}{x - 4}$

Этап 6.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (3 x + 1) - 4 (3 x + 1)}{x - 4}$

Этап 6.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{x - 4}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{x - 4}$

Этап 6.1.2.2

Разделим $3 x + 1$ на $1$ .

$3 x + 1$

Этап 6.2

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 3 x + 1$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 3 x + 1$

Этап 8