Основы мат. анализа Примеры

$0.01 x^{2} - 2.06 x y + 157.65 y^{2} + 5408.39 x + 24.8 y = - 24751.67$

Этап 1

Добавим $24751.67$ к обеим частям уравнения.

$0.01 x^{2} - 2.06 x y + 157.65 y^{2} + 5408.39 x + 24.8 y + 24751.67 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 0.01$ , $b = - 2.06 y + 5408.39$ и $c = 157.65 y^{2} + 24.8 y + 24751.67$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- (- 2.06 y + 5408.39) \pm \sqrt{{(- 2.06 y + 5408.39)}^{2} - 4 \cdot (0.01 \cdot (157.65 y^{2} + 24.8 y + 24751.67))}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- (- 2.06 y) - 1 \cdot 5408.39 \pm \sqrt{{(- 2.06 y + 5408.39)}^{2} - 4 \cdot 0.01 \cdot (157.65 y^{2} + 24.8 y + 24751.67)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 2.06$ на $- 1$ .

$x = \frac{2.06 y - 1 \cdot 5408.39 \pm \sqrt{{(- 2.06 y + 5408.39)}^{2} - 4 \cdot 0.01 \cdot (157.65 y^{2} + 24.8 y + 24751.67)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.3

Умножим $- 1$ на $5408.39$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{{(- 2.06 y + 5408.39)}^{2} - 4 \cdot 0.01 \cdot (157.65 y^{2} + 24.8 y + 24751.67)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.4

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{{(- 2.06 y + 5408.39)}^{2} - 4 \cdot (0.01 \cdot (157.65 y^{2} + 24.8 y + 24751.67))}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5

Пусть $u = 0.01 \cdot (157.65 y^{2} + 24.8 y + 24751.67)$ . Подставим $u$ вместо $0.01 \cdot (157.65 y^{2} + 24.8 y + 24751.67)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перепишем ${(- 2.06 y + 5408.39)}^{2}$ в виде $(- 2.06 y + 5408.39) (- 2.06 y + 5408.39)$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{(- 2.06 y + 5408.39) (- 2.06 y + 5408.39) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5.2

Развернем $(- 2.06 y + 5408.39) (- 2.06 y + 5408.39)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{- 2.06 y (- 2.06 y + 5408.39) + 5408.39 (- 2.06 y + 5408.39) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{- 2.06 y (- 2.06 y) - 2.06 y \cdot 5408.39 + 5408.39 (- 2.06 y + 5408.39) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{- 2.06 y (- 2.06 y) - 2.06 y \cdot 5408.39 + 5408.39 (- 2.06 y) + 5408.39 \cdot 5408.39 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{- 2.06 \cdot (- 2.06 y \cdot y) - 2.06 y \cdot 5408.39 + 5408.39 (- 2.06 y) + 5408.39 \cdot 5408.39 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{- 2.06 \cdot (- 2.06 (y \cdot y)) - 2.06 y \cdot 5408.39 + 5408.39 (- 2.06 y) + 5408.39 \cdot 5408.39 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{- 2.06 \cdot (- 2.06 y^{2}) - 2.06 y \cdot 5408.39 + 5408.39 (- 2.06 y) + 5408.39 \cdot 5408.39 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5.3.1.3

Умножим $- 2.06$ на $- 2.06$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{4.2436 y^{2} - 2.06 y \cdot 5408.39 + 5408.39 (- 2.06 y) + 5408.39 \cdot 5408.39 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5.3.1.4

Умножим $5408.39$ на $- 2.06$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{4.2436 y^{2} - 11141.2834 y + 5408.39 (- 2.06 y) + 5408.39 \cdot 5408.39 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5.3.1.5

Умножим $- 2.06$ на $5408.39$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{4.2436 y^{2} - 11141.2834 y - 11141.2834 y + 5408.39 \cdot 5408.39 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5.3.1.6

Умножим $5408.39$ на $5408.39$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{4.2436 y^{2} - 11141.2834 y - 11141.2834 y + 29250682.3921 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.5.3.2

Вычтем $11141.2834 y$ из $- 11141.2834 y$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{4.2436 y^{2} - 22282.5668 y + 29250682.3921 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 0.01}$

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{4.2436 y^{2} - 22282.5668 y + 29250682.3921 - 4 u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.6

Вынесем множитель $0.0001$ из $4.2436 y^{2} - 22282.5668 y + 29250682.3921 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $0.0001$ из $4.2436 y^{2}$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2}) - 22282.5668 y + 29250682.3921 - 4 u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.6.2

Вынесем множитель $0.0001$ из $- 22282.5668 y$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2}) + 0.0001 (- 222825668 y) + 29250682.3921 - 4 u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.6.3

Вынесем множитель $0.0001$ из $29250682.3921$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2}) + 0.0001 (- 222825668 y) + 0.0001 (292506823921) - 4 u}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.6.4

Вынесем множитель $0.0001$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2}) + 0.0001 (- 222825668 y) + 0.0001 (292506823921) + 0.0001 (- 40000 u)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.6.5

Вынесем множитель $0.0001$ из $0.0001 (42436 y^{2}) + 0.0001 (- 222825668 y)$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y) + 0.0001 (292506823921) + 0.0001 (- 40000 u)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.6.6

Вынесем множитель $0.0001$ из $0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y) + 0.0001 (292506823921)$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921) + 0.0001 (- 40000 u)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.6.7

Вынесем множитель $0.0001$ из $0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921) + 0.0001 (- 40000 u)$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921 - 40000 u)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $0.01 \cdot (157.65 y^{2} + 24.8 y + 24751.67)$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921 - 40000 (0.01 \cdot (157.65 y^{2} + 24.8 y + 24751.67)))}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921 - 40000 (0.01 (157.65 y^{2}) + 0.01 (24.8 y) + 0.01 \cdot 24751.67))}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.8.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1.2.1

Умножим $157.65$ на $0.01$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921 - 40000 (1.5765 y^{2} + 0.01 (24.8 y) + 0.01 \cdot 24751.67))}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.8.1.2.2

Умножим $24.8$ на $0.01$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921 - 40000 (1.5765 y^{2} + 0.248 y + 0.01 \cdot 24751.67))}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.8.1.2.3

Умножим $0.01$ на $24751.67$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921 - 40000 (1.5765 y^{2} + 0.248 y + 247.5167))}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921 - 40000 (1.5765 y^{2}) - 40000 (0.248 y) - 40000 \cdot 247.5167)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.8.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1.4.1

Умножим $1.5765$ на $- 40000$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921 - 63060 y^{2} - 40000 (0.248 y) - 40000 \cdot 247.5167)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.8.1.4.2

Умножим $0.248$ на $- 40000$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921 - 63060 y^{2} - 9920 y - 40000 \cdot 247.5167)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.8.1.4.3

Умножим $- 40000$ на $247.5167$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (42436 y^{2} - 222825668 y + 292506823921 - 63060 y^{2} - 9920 y - 9900668)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.8.2

Вычтем $63060 y^{2}$ из $42436 y^{2}$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (- 20624 y^{2} - 222825668 y + 292506823921 - 9920 y - 9900668)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.8.3

Вычтем $9920 y$ из $- 222825668 y$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292506823921 - 9900668)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.8.4

Вычтем $9900668$ из $292506823921$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $1$ из $- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $1$ из $- 20624 y^{2}$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (1 (- 20624 y^{2}) - 222835588 y + 292496923253)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $1$ из $- 222835588 y$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (1 (- 20624 y^{2}) + 1 (- 222835588 y) + 292496923253)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.9.3

Перепишем $292496923253$ в виде $1 (292496923253)$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (1 (- 20624 y^{2}) + 1 (- 222835588 y) + 1 (292496923253))}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $1$ из $1 (- 20624 y^{2}) + 1 (- 222835588 y)$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (1 (- 20624 y^{2} - 222835588 y) + 1 (292496923253))}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $1$ из $1 (- 20624 y^{2} - 222835588 y) + 1 (292496923253)$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (1 (- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253))}}{2 \cdot 0.01}$

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 \cdot (1 (- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253))}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.10

Умножим $0.0001$ на $1$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{0.0001 (- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.11

Перепишем $0.0001 (- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253)$ в виде ${({0.1}^{2})}^{2} (- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Перепишем $0.0001$ в виде ${0.01}^{2}$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{{0.01}^{2} (- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.11.2

Перепишем $0.01$ в виде ${0.1}^{2}$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm \sqrt{{({0.1}^{2})}^{2} (- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253)}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm {0.1}^{2} \sqrt{- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.1.13

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm 0.01 \sqrt{- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253}}{2 \cdot 0.01}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $0.01$ .

$x = \frac{2.06 y - 5408.39 \pm 0.01 \sqrt{- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253}}{0.02}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{2.06 y - 5408.39 \pm 0.01 \sqrt{- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253}}{0.02}$ .

$x = \frac{206 y - 540839}{2} \pm \frac{\sqrt{- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253}}{2}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{206 y - 540839 + \sqrt{- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253}}{2}$

$x = \frac{206 y - 540839 - \sqrt{- 20624 y^{2} - 222835588 y + 292496923253}}{2}$