Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$

Этап 1

Приравняем $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$ к $0$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 2.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 12$

Этап 2.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 5 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 12$

Этап 2.1.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 5 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 12$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 5$ на $9$ .

$27 - 45 + 2 \cdot 3 + 12$

Этап 2.1.3.5

Вычтем $45$ из $27$ .

$- 18 + 2 \cdot 3 + 12$

Этап 2.1.3.6

Умножим $2$ на $3$ .

$- 18 + 6 + 12$

Этап 2.1.3.7

Добавим $- 18$ и $6$ .

$- 12 + 12$

Этап 2.1.3.8

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12}{x - 3}$

Этап 2.1.5

Разделим $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$12$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 6 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$	+	$12$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$	+	$12$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$	+	$12$
							-	$4 x$	+	$12$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x + 12$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$	+	$12$
							+	$4 x$	-	$12$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$4 x$	+	$12$
							+	$4 x$	-	$12$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x - 4$

Этап 2.1.6

Запишем $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} - 2 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} - 2 x - 4$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ верно.

$x = 3, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 3, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$x = 3, 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$

Этап 4