Основы мат. анализа Примеры

${(x^{2} + y^{2} - 7 y)}^{2} = 49 x^{2} + 49 y^{2}$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

${(x^{2} + {(0)}^{2} - 7 \cdot 0)}^{2} = 49 x^{2} + 49 {(0)}^{2}$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим ${(x^{2} + {(0)}^{2} - 7 \cdot 0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + {(x^{2} + {(0)}^{2} - 7 \cdot 0)}^{2} = 49 x^{2} + 49 {(0)}^{2}$

Этап 1.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

${(x^{2} + {(0)}^{2} - 7 \cdot 0)}^{2} = 49 x^{2} + 49 {(0)}^{2}$

Этап 1.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(x^{2} + 0 - 7 \cdot 0)}^{2} = 49 x^{2} + 49 {(0)}^{2}$

Этап 1.2.1.3.2

Умножим $- 7$ на $0$ .

${(x^{2} + 0 + 0)}^{2} = 49 x^{2} + 49 {(0)}^{2}$

Этап 1.2.1.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.4.1

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.4.1.1

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

${(x^{2} + 0)}^{2} = 49 x^{2} + 49 {(0)}^{2}$

Этап 1.2.1.4.1.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

${(x^{2})}^{2} = 49 x^{2} + 49 {(0)}^{2}$

Этап 1.2.1.4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 2} = 49 x^{2} + 49 {(0)}^{2}$

Этап 1.2.1.4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{4} = 49 x^{2} + 49 {(0)}^{2}$

Этап 1.2.2

Упростим $49 x^{2} + 49 {(0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{4} = 49 x^{2} + 49 \cdot 0$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $49$ на $0$ .

$x^{4} = 49 x^{2} + 0$

Этап 1.2.2.2

Добавим $49 x^{2}$ и $0$ .

$x^{4} = 49 x^{2}$

Этап 1.2.3

Вычтем $49 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 49 x^{2} = 0$

Этап 1.2.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 49 x^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - 49 u = 0$

Этап 1.2.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - 49 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - 49 u = 0$

Этап 1.2.4.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- 49 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 49 = 0$

Этап 1.2.4.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 49$ .

$u (u - 49) = 0$

Этап 1.2.4.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 49) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 49 = 0$

Этап 1.2.6

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 1.2.6.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.2.6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.2.6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.2.6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.7

Приравняем $x^{2} - 49$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x^{2} - 49$ к $0$ .

$x^{2} - 49 = 0$

Этап 1.2.7.2

Решим $x^{2} - 49 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Добавим $49$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 49$

Этап 1.2.7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{49}$

Этап 1.2.7.2.3

Упростим $\pm \sqrt{49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.3.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2}}$

Этап 1.2.7.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 7$

Этап 1.2.7.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 7$

Этап 1.2.7.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 7$

Этап 1.2.7.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 7, - 7$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x^{2} - 49) = 0$ верно.

$x = 0, 7, - 7$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (7, 0), (- 7, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

${({(0)}^{2} + y^{2} - 7 y)}^{2} = 49 {(0)}^{2} + 49 y^{2}$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(0)}^{2} + y^{2} - 7 y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(0 + y^{2} - 7 y)}^{2} = 49 {(0)}^{2} + 49 y^{2}$

Этап 2.2.1.2

Добавим $0$ и $y^{2}$ .

${(y^{2} - 7 y)}^{2} = 49 {(0)}^{2} + 49 y^{2}$

Этап 2.2.2

Упростим $49 {(0)}^{2} + 49 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(y^{2} - 7 y)}^{2} = 49 \cdot 0 + 49 y^{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $49$ на $0$ .

${(y^{2} - 7 y)}^{2} = 0 + 49 y^{2}$

Этап 2.2.2.2

Добавим $0$ и $49 y^{2}$ .

${(y^{2} - 7 y)}^{2} = 49 y^{2}$

Этап 2.2.3

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вычтем $49 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(y^{2} - 7 y)}^{2} - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Перепишем ${(y^{2} - 7 y)}^{2}$ в виде $(y^{2} - 7 y) (y^{2} - 7 y)$ .

$(y^{2} - 7 y) (y^{2} - 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.2

Развернем $(y^{2} - 7 y) (y^{2} - 7 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} (y^{2} - 7 y) - 7 y (y^{2} - 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 7 y) - 7 y (y^{2} - 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 7 y) - 7 y \cdot y^{2} - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.3.1.1

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{2 + 2} + y^{2} (- 7 y) - 7 y \cdot y^{2} - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y^{4} + y^{2} (- 7 y) - 7 y \cdot y^{2} - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{4} - 7 y^{2} y - 7 y \cdot y^{2} - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.3

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.3.1.3.1

Перенесем $y$ .

$y^{4} - 7 (y \cdot y^{2}) - 7 y \cdot y^{2} - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.3.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.3.1.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{4} - 7 (y^{1} y^{2}) - 7 y \cdot y^{2} - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{4} - 7 y^{1 + 2} - 7 y \cdot y^{2} - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$y^{4} - 7 y^{3} - 7 y \cdot y^{2} - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.4

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.3.1.4.1

Перенесем $y^{2}$ .

$y^{4} - 7 y^{3} - 7 (y^{2} y) - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.4.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.3.1.4.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{4} - 7 y^{3} - 7 (y^{2} y^{1}) - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{4} - 7 y^{3} - 7 y^{2 + 1} - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y^{4} - 7 y^{3} - 7 y^{3} - 7 y (- 7 y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{4} - 7 y^{3} - 7 y^{3} - 7 \cdot - 7 y \cdot y - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.6

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.3.1.6.1

Перенесем $y$ .

$y^{4} - 7 y^{3} - 7 y^{3} - 7 \cdot - 7 (y \cdot y) - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.6.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{4} - 7 y^{3} - 7 y^{3} - 7 \cdot - 7 y^{2} - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.1.7

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$y^{4} - 7 y^{3} - 7 y^{3} + 49 y^{2} - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2.3.2

Вычтем $7 y^{3}$ из $- 7 y^{3}$ .

$y^{4} - 14 y^{3} + 49 y^{2} - 49 y^{2} = 0$

Этап 2.2.3.3

Объединим противоположные члены в $y^{4} - 14 y^{3} + 49 y^{2} - 49 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Вычтем $49 y^{2}$ из $49 y^{2}$ .

$y^{4} - 14 y^{3} + 0 = 0$

Этап 2.2.3.3.2

Добавим $y^{4} - 14 y^{3}$ и $0$ .

$y^{4} - 14 y^{3} = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{4} - 14 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{4}$ .

$y^{3} y - 14 y^{3} = 0$

Этап 2.2.4.2

Вынесем множитель $y^{3}$ из $- 14 y^{3}$ .

$y^{3} y + y^{3} \cdot - 14 = 0$

Этап 2.2.4.3

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} y + y^{3} \cdot - 14$ .

$y^{3} (y - 14) = 0$

Этап 2.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y^{3} = 0$

$y - 14 = 0$

Этап 2.2.6

Приравняем $y^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Приравняем $y^{3}$ к $0$ .

$y^{3} = 0$

Этап 2.2.6.2

Решим $y^{3} = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.2.6.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.2.6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$y = 0$

Этап 2.2.7

Приравняем $y - 14$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Приравняем $y - 14$ к $0$ .

$y - 14 = 0$

Этап 2.2.7.2

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$y = 14$

Этап 2.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $y^{3} (y - 14) = 0$ верно.

$y = 0, 14$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0), (0, 14)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (7, 0), (- 7, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0), (0, 14)$

Этап 4