Основы мат. анализа Примеры

$\tan (x) + \cot (x) = \sec (x) \csc (x)$

Этап 1

Вычтем $\sec (x) \csc (x)$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) + \cot (x) - \sec (x) \csc (x) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) - \sec (x) \csc (x) = 0$

Этап 2.1.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sec (x) \csc (x) = 0$

Этап 2.1.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \csc (x) = 0$

Этап 2.1.4

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} = 0$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = 0$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5.2

Умножим $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5.2.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 5.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.3

Сократим общий множитель.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 6.4

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 8

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 9

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 10

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 12

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\sin (x) + \frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 13

Применим формулу Пифагора.

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 14

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим на $1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 14.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 14.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + \frac{- \sin (x)}{1} = \cos (x) \cdot 0$

Этап 14.2.4

Разделим $- \sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) - \sin (x) = \cos (x) \cdot 0$

Этап 15

Вычтем $\sin (x)$ из $\sin (x)$ .

$0 = \cos (x) \cdot 0$

Этап 16

Умножим $\cos (x)$ на $0$ .

$0 = 0$

Этап 17

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Всегда истинное