Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) = 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2 = 0$

Этап 2

Упростим $\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 4) (x - 4)) - 2 = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(x + 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Этап 2.2.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 4$ и $4 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Этап 2.2.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Этап 2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Этап 2.2.3.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\log_{5} (x^{2} - 16) - 2 = 0$

Этап 3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$

Этап 4

Перепишем $\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} - 16$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 16 = 5^{2}$ .

$x^{2} - 16 = 5^{2}$

Этап 5.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x^{2} - 16 = 25$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 25 + 16$

Этап 5.3.2

Добавим $25$ и $16$ .

$x^{2} = 41$

Этап 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{41}$

Этап 5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{41}$

Этап 5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{41}$

Этап 5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Десятичная форма:

$x = 6.40312423 \dots, - 6.40312423 \dots$