Основы мат. анализа Примеры

${(m^{2} - 1)}^{2} - 11 (m^{2} - 1) + 24 = 0$

Этап 1

Пусть $u = m^{2} - 1$ . Подставим $u$ вместо $m^{2} - 1$ для всех.

$u^{2} - 11 u + 24 = 0$

Этап 2

Разложим $u^{2} - 11 u + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $- 11$ .

$- 8, - 3$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 8) (u - 3) = 0$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $m^{2} - 1$ .

$(m^{2} - 1 - 8) (m^{2} - 1 - 3) = 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $8$ из $- 1$ .

$(m^{2} - 9) (m^{2} - 1 - 3) = 0$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$(m^{2} - 9) (m^{2} - 4) = 0$

Этап 5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(m^{2} - 3^{2}) (m^{2} - 4) = 0$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = m$ и $b = 3$ .

$(m + 3) (m - 3) (m^{2} - 4) = 0$

Этап 7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(m + 3) (m - 3) (m^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = m$ и $b = 2$ .

$(m + 3) (m - 3) ((m + 2) (m - 2)) = 0$

Этап 8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(m + 3) (m - 3) (m + 2) (m - 2) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$m + 3 = 0$

$m - 3 = 0$

$m + 2 = 0$

$m - 2 = 0$

Этап 10

Приравняем $m + 3$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $m + 3$ к $0$ .

$m + 3 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$m = - 3$

Этап 11

Приравняем $m - 3$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $m - 3$ к $0$ .

$m - 3 = 0$

Этап 11.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$m = 3$

Этап 12

Приравняем $m + 2$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $m + 2$ к $0$ .

$m + 2 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$m = - 2$

Этап 13

Приравняем $m - 2$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $m - 2$ к $0$ .

$m - 2 = 0$

Этап 13.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$m = 2$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(m + 3) (m - 3) (m + 2) (m - 2) = 0$ верно.

$m = - 3, 3, - 2, 2$