Основы мат. анализа Примеры

$\frac{(\frac{4}{x}) x^{4} - 4 x^{3} (4 \ln (x))}{x^{8}} = 0$

Этап 1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $(\frac{4}{x}) x^{4} - 4 x^{3} (4 \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $(\frac{4}{x}) x^{4}$ .

$\frac{x^{3} (\frac{4}{x} \cdot x) - 4 x^{3} (4 \ln (x))}{x^{8}} = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 4 x^{3} (4 \ln (x))$ .

$\frac{x^{3} (\frac{4}{x} \cdot x) + x^{3} (- 4 (4 \ln (x)))}{x^{8}} = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (\frac{4}{x} x) + x^{3} (- 4 (4 \ln (x)))$ .

$\frac{x^{3} (\frac{4}{x} \cdot x - 4 (4 \ln (x)))}{x^{8}} = 0$

Этап 2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (\frac{4}{x} \cdot x - 4 (4 \ln (x)))}{x^{8}} = 0$

Этап 2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} (4 - 4 (4 \ln (x)))}{x^{8}} = 0$

Этап 3

Упростим $4 \ln (x)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\frac{x^{3} (4 - 4 \ln (x^{4}))}{x^{8}} = 0$

Этап 4

Упростим $- 4 \ln (x^{4})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\frac{x^{3} (4 - \ln ({(x^{4})}^{4}))}{x^{8}} = 0$

Этап 5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} (4 - \ln (x^{4 \cdot 4}))}{x^{8}} = 0$

Этап 5.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{x^{3} (4 - \ln (x^{16}))}{x^{8}} = 0$

Этап 6

Сократим выражение $\frac{x^{3} (4 - \ln (x^{16}))}{x^{8}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (4 - \ln (x^{16}))}{x^{3} x^{5}} = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (4 - \ln (x^{16}))}{x^{3} x^{5}} = 0$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 - \ln (x^{16})}{x^{5}} = 0$

Этап 7

Приравняем числитель к нулю.

$4 - \ln (x^{16}) = 0$

Этап 8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (x^{16}) = - 4$

Этап 8.2

Разделим каждый член $- \ln (x^{16}) = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $- \ln (x^{16}) = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{16})}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (x^{16})}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 8.2.2.2

Разделим $\ln (x^{16})$ на $1$ .

$\ln (x^{16}) = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$\ln (x^{16}) = 4$

Этап 8.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{16})} = e^{4}$

Этап 8.4

Перепишем $\ln (x^{16}) = 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{4} = x^{16}$

Этап 8.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{16} = e^{4}$ .

$x^{16} = e^{4}$

Этап 8.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[16]{e^{4}}$

Этап 8.5.3

Упростим $\pm \sqrt[16]{e^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Перепишем $\sqrt[16]{e^{4}}$ в виде $\sqrt[4]{\sqrt[4]{e^{4}}}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{\sqrt[4]{e^{4}}}$

Этап 8.5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \sqrt[4]{e}$

Этап 8.5.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt[4]{e}$

Этап 8.5.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt[4]{e}$

Этап 8.5.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt[4]{e}, - \sqrt[4]{e}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt[4]{e}, - \sqrt[4]{e}$

Десятичная форма:

$x = 1.28402541 \dots, - 1.28402541 \dots$