Основы мат. анализа Примеры

$(x^{2} + 10 x + 25) (x^{2} - 10 x + 25) - 49 = 0$

Этап 1

Перепишем $(x^{2} + 10 x + 25) (x^{2} - 10 x + 25)$ в виде ${((x + 5) (x - 5))}^{2}$ .

${((x + 5) (x - 5))}^{2} - 49 = 0$

Этап 2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

${((x + 5) (x - 5))}^{2} - 7^{2} = 0$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = (x + 5) (x - 5)$ и $b = 7$ .

$((x + 5) (x - 5) + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(x + 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x (x - 5) + 5 (x - 5) + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5) + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 5$ и $5 x$ .

$(x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$(x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$(x \cdot x + 5 \cdot - 5 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} + 5 \cdot - 5 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4.3.2

Умножим $5$ на $- 5$ .

$(x^{2} - 25 + 7) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4.4

Добавим $- 25$ и $7$ .

$(x^{2} - 18) ((x + 5) (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4.5

Развернем $(x + 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 18) (x (x - 5) + 5 (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 18) (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5) - 7) = 0$

Этап 4.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 18) (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5 - 7) = 0$

Этап 4.6

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 5$ и $5 x$ .

$(x^{2} - 18) (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5 - 7) = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$(x^{2} - 18) (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5 - 7) = 0$

Этап 4.6.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$(x^{2} - 18) (x \cdot x + 5 \cdot - 5 - 7) = 0$

Этап 4.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} - 18) (x^{2} + 5 \cdot - 5 - 7) = 0$

Этап 4.7.2

Умножим $5$ на $- 5$ .

$(x^{2} - 18) (x^{2} - 25 - 7) = 0$

Этап 4.8

Вычтем $7$ из $- 25$ .

$(x^{2} - 18) (x^{2} - 32) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 18 = 0$

$x^{2} - 32 = 0$

Этап 6

Приравняем $x^{2} - 18$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} - 18$ к $0$ .

$x^{2} - 18 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} - 18 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 18$

Этап 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Этап 6.2.3

Упростим $\pm \sqrt{18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Этап 6.2.3.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 6.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Этап 6.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 \sqrt{2}$

Этап 6.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Этап 6.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Этап 7

Приравняем $x^{2} - 32$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x^{2} - 32$ к $0$ .

$x^{2} - 32 = 0$

Этап 7.2

Решим $x^{2} - 32 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $32$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 32$

Этап 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{32}$

Этап 7.2.3

Упростим $\pm \sqrt{32}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \pm \sqrt{16 (2)}$

Этап 7.2.3.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Этап 7.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 4 \sqrt{2}$

Этап 7.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4 \sqrt{2}$

Этап 7.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4 \sqrt{2}$

Этап 7.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 18) (x^{2} - 32) = 0$ верно.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$x = 4.24264068 \dots, - 4.24264068 \dots, 5.65685424 \dots, - 5.65685424 \dots$