Основы мат. анализа Примеры

$x^{8} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{8}$ в виде ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{4}$ . Подставим $u$ вместо $x^{4}$ для всех.

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $256$ в виде $16^{2}$ .

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 16$ .

${(u - 16)}^{2} = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Этап 5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Этап 6

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Этап 7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Этап 8.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Этап 9

Применим правило умножения к $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 10

Применим правило умножения к $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 12

Приравняем ${(x^{2} + 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем ${(x^{2} + 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Этап 12.2

Решим ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 12.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 12.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 12.2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 12.2.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 12.2.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 12.2.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 12.2.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 12.2.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 12.2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 12.2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 12.2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 13

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 13.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 13.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 14

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 14.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 14.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 15

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$