Основы мат. анализа Примеры

$x^{6} - 16^{4} = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - 16^{4} = 0$

Этап 2

Перепишем $16^{4}$ в виде ${(16^{2})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - {(16^{2})}^{2} = 0$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{3}$ и $b = 16^{2}$ .

$(x^{3} + 16^{2}) (x^{3} - 16^{2}) = 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$(x^{3} + 256) (x^{3} - 16^{2}) = 0$

Этап 4.2

Возведем $16$ в степень $2$ .

$(x^{3} + 256) (x^{3} - 1 \cdot 256) = 0$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $256$ .

$(x^{3} + 256) (x^{3} - 256) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} + 256 = 0$

$x^{3} - 256 = 0$

Этап 6

Приравняем $x^{3} + 256$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{3} + 256$ к $0$ .

$x^{3} + 256 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{3} + 256 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $256$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} = - 256$

Этап 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- 256}$

Этап 6.2.3

Упростим $\sqrt[3]{- 256}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перепишем $- 256$ в виде ${(- 4)}^{3} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 64$ из $- 256$ .

$x = \sqrt[3]{- 64 (4)}$

Этап 6.2.3.1.2

Перепишем $- 64$ в виде ${(- 4)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 4)}^{3} \cdot 4}$

Этап 6.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = - 4 \sqrt[3]{4}$

Этап 7

Приравняем $x^{3} - 256$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x^{3} - 256$ к $0$ .

$x^{3} - 256 = 0$

Этап 7.2

Решим $x^{3} - 256 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $256$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} = 256$

Этап 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{256}$

Этап 7.2.3

Упростим $\sqrt[3]{256}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перепишем $256$ в виде $4^{3} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Вынесем множитель $64$ из $256$ .

$x = \sqrt[3]{64 (4)}$

Этап 7.2.3.1.2

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}$

Этап 7.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = 4 \sqrt[3]{4}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{3} + 256) (x^{3} - 256) = 0$ верно.

$x = - 4 \sqrt[3]{4}, 4 \sqrt[3]{4}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 4 \sqrt[3]{4}, 4 \sqrt[3]{4}$

Десятичная форма:

$x = - 6.34960420 \dots, 6.34960420 \dots$