Основы мат. анализа Примеры

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$2 θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$2 θ = \frac{π}{6}$

Этап 3

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Этап 4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 θ = π - \frac{π}{6}$

Этап 5

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 5.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $6$ .

$2 θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 5.1.4.2

Вычтем $π$ из $6 \cdot π$ .

$2 θ = \frac{5 \cdot π}{6}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 θ = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 θ = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$θ = \frac{5 π}{12}$

Этап 6

Найдем период $\sin (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Период функции $\sin (2 θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$