Основы мат. анализа Примеры

$| 3 x - 2 | < 4$

Этап 1

Запишем $| 3 x - 2 | < 4$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$3 x - 2 \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$3 x \geq 2$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $3 x \geq 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $3 x \geq 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{2}{3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{2}{3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{2}{3}$

Этап 1.3

В части, где $3 x - 2$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$3 x - 2 < 4$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$3 x - 2 < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$3 x < 2$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $3 x < 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $3 x < 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{2}{3}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} < \frac{2}{3}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{2}{3}$

Этап 1.6

В части, где $3 x - 2$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (3 x - 2) < 4$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 3 x - 2 < 4 & x \geq \frac{2}{3} \\ - (3 x - 2) < 4 & x < \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $- (3 x - 2) < 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 3 x - 2 < 4 & x \geq \frac{2}{3} \\ - (3 x) - - 2 < 4 & x < \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 3 x - 2 < 4 & x \geq \frac{2}{3} \\ - 3 x - - 2 < 4 & x < \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 1.8.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

${\begin{cases} 3 x - 2 < 4 & x \geq \frac{2}{3} \\ - 3 x + 2 < 4 & x < \frac{2}{3} \end{cases}$

Этап 2

Решим $3 x - 2 < 4$ , когда $x \geq \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $3 x - 2 < 4$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$3 x < 4 + 2$

Этап 2.1.1.2

Добавим $4$ и $2$ .

$3 x < 6$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $3 x < 6$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $3 x < 6$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{6}{3}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} < \frac{6}{3}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{6}{3}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Разделим $6$ на $3$ .

$x < 2$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < 2$ и $x \geq \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \leq x < 2$

Этап 3

Решим $- 3 x + 2 < 4$ , когда $x < \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- 3 x + 2 < 4$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- 3 x < 4 - 2$

Этап 3.1.1.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$- 3 x < 2$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $- 3 x < 2$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $- 3 x < 2$ на $- 3$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{2}{- 3}$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{2}{- 3}$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{2}{- 3}$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x > - \frac{2}{3}$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x > - \frac{2}{3}$ и $x < \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} < x < \frac{2}{3}$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$- \frac{2}{3} < x < 2$

Этап 5

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \frac{2}{3}, 2)$

Этап 6