Основы мат. анализа Примеры

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ , $f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{3}{x^{2}})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{3}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{3}{{(x + h)}^{2}}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{3}{x^{2}}$ на $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 3 {(x + h)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2}) - 3 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 {(x + h)}^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2}) + 3 (- {(x + h)}^{2})$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} - {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = x + h$ .

$\frac{\frac{3 ((x + x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (x - x - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) (0 - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.4

Вычтем $h$ из $0$ .

$\frac{\frac{3 ((2 x + h) \cdot - 1 h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.5.3.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{\frac{3 (- ((2 x + h) h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{\frac{- (3 (2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.5.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 3 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 3 (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- 3 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 5